Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah salah satu distribusi dalam statistika yang digunakan untuk menentukan peluang sukses dari suatu kejadian dalam beberapa percobaan. Sebagai contoh, apabila kita mempunyai koin dan melemparkan koin tersebut sebanyak 10 kali, berapakah peluang kita akan mendapatkan 4 gambar? Kita bisa menggambarkan kejadian tersebut dengan notasi : G G G G A A A A A A. Artinya, pada lemparan pertama hingga keempat, kita asumsikan bahwa kita mendapat gambar, sedangkan pada lemparan selanjutnya kita mendapat angka. Kita akan mengasumsikan G sebagai kondisi sukses, sehingga yang lainnya adalah gagal. Apabila peluang dapatnya gambar adalah p, maka peluang dapatnya angka adalah otomatis 1-p, karena superposisi dari angka dan gambar harus menjadi 1. Sehingga dalam matematika, kita bisa menerjemahkan notasi di atas menjadi pppp(1-p)(1-p)(1-p)(1-p)(1-p)(1-p), atau

karena pada koin peluang dapatnya gambar adalah 0.5, maka probabilitas kita memperoleh notasi ini adalah

angka ini hanya probabilitas mendapatkan satu notasi saja, karena tidak harus notasi itu saja agar kita dapat 4 gambar, tetapi kita bisa mendapatkan notasi seperti G G G A G A A A A A. Notasi ini juga akan menghasilkan peluang yang sama seperti di atas, sehingga untuk mendapatkan probabilitas yang kita perlukan, kita cukup menambahkan peluang untuk notasi ini… dan notasi lainnya juga. Karena notasi-notasi ini memiliki peluang yang sama, kita cukup mengalikan banyaknya notasi dengan nilai di atas. Apabila banyaknya notasi yang memenuhi kriteria adalah N, maka nilai probabilitas yang kita inginkan adalah

 (1)

pertanyaannya adalah, bagaimana kita dapat mengetahui banyaknya notasi yang memberikan 4 gambar dan 6 angka? Disinilah kita menggunakan persamaan kombinasi untuk mengetahui banyaknya notasi tersebut tanpa harus menghitung satu per satu, yaitu

 (2)

sehingga memasukkan nilai n = 10 dan r = 4, maka kita peroleh bahwa N = 210. Apabila disubstitusikan ke Persamaan (1), maka kita peroleh nilai sekitar 0.205, atau 20.5%. Nilai ini adalah angka probabilitas yang kita inginkan, yaitu peluang dapatnya 4 gambar dari 10 percobaan. Secara keseluruan, fungsi probabilitas ini dituliskan sebagai

 (3)

Persamaan (3) ini adalah persamaan distribusi binomial, dimana X adalah banyaknya kondisi sukses pada kejadian.