Prev : Vektor – Perkalian Vektor : Produk Luar (Cross Product)
Pada artikel sebelumnya tentang dimensi ketiga, kita telah menyinggung sedikit tentang kuaternion, atau perluasan bidang kompleks. Apabila kita bicara tentang bidang kompleks, maka kita akan bicara tentang bilangan imajiner. Singkatnya, bilangan imajiner adalah akar dari negatif satu, yang apabila dioperasikan tidak memiliki hasil bilangan asli, tidak seperti akar lainnya seperti akar dari dua, yang memiliki hasil yaitu 1.414. Bilangan imajiner ini biasanya dilambangkan dengan i atau j (k juga bisa, namun sangat jarang digunakan), atau
Namun, perlu diingat bahwa meskipun i, j, dan k adalah 
, mereka tidak sama dari segi arah, sehingga tidak dapat disamakan satu sama lain. Mengacu pada pembahasan sebelumnya, ij = k, jk = i, dan ki = j, untuk kasus perkalian bilangan imajiner dengan simbol yang sama, kita dapat menyatakan bahwa ii = -1, jj = -1, dan kk = -1. Dengan demikian, apabila kita memiliki suatu bilangan A dan B (umumnya disebut bilangan kompleks karena memiliki bilangan imajiner) yang dituliskan sebagai
maka apabila kita kalikan keduanya dan diinterpretasikan sebagai vektor akan kita peroleh bahwa
(1)
dengan
(2)
yang disebut sebagai produk dalam atau dot product dari kedua vektor A dan B. Dengan kata lain, ketika kita melakukan operasi AB seperti sebelumnya, maka kita akan peroleh dua hasil perkalian, yaitu cross product yang merupakan bentuk vektor, dan dot product yang merupakan bentuk skalar. Dalam bidang kompleks, dot product ini pada dasarnya adalah bagian real atau asli dari bilangan kompleks.
Kembali ke Persamaan (1), kita juga tentunya memperoleh aturan baru dari dot product ini. Apabila dalam cross product hasilnya adalah vektor dengan i × j = k, j × k = i, k × i = j, serta i × i = j × j = k × k = 0, maka dalam dot product, kita peroleh hasilnya berupa hasil skalar dengan
Sebagai contoh, kita tinjau dua vektor A dan B yang bernilai
Menggunakan Persamaan (2), kita peroleh dot product dari kedua vektor tersebut adalah
Science and Games 