Memasuki tahun ajaran baru setelah para siswa naik kelas, mereka akan langsung mencari tempat duduk yang tersedia. Dengan banyaknya bangku yang tersedia sebanyak g, dan banyaknya siswa adalah n, banyaknya cara bangku-bangku tersebut akan terpenuhi adalah
tanpa memperdulikan siapa yang duduk dimana (kita hanya memperdulikan apakah tempat duduk itu terisi atau tidak). Apabila sekolah tersebut memiliki kelas sebanyak N, maka total keseluruhan bangku-bangku dapat terpenuhi adalah
dimana i adalah indeks kelas (kelas 1, kelas 2, dst.). Sekarang kita akan mulai bermain matematika, dan pertama kita akan mengubah ruas kiri dan kanan ke dalam bentuk logaritma, yaitu
Aturan logaritma mengatakan bahwa ln ab = ln a + ln b, serta ln a/b = ln a – ln b, sehingga dapat kita tulis
menggunakan pendekatan Stirling, dimana ln a! ≅ a ln a – a, maka
(1)
Misalkan pada sekolah tersebut terdapat suatu kebijakan, dimana setiap siswa harus membayar kas per bulannya, dan tiap tempat duduk memiliki tagihan kas yang berbeda-beda, namun dengan fasilitas yang berbeda pula. Katakanlah bahwa banyaknya uang yang diperoleh dari kelas i adalah sebesar Ei, maka jumlah keseluruhan uang yang terkumpul adalah
Menggunakan metode Lagrange, kita akan menentukan titik maksimum dari fungsi ln Wi, dengan menggunakan fungsi jumlah keseluruhan uang dan jumlah siswa keseluruhan
sebagai batas, sehingga kita akan memperoleh persamaan
Dengan melakukan diferensiasi terhadap ni, kita peroleh
(2)
Untuk menentukan suku pertama pada ruas kanan, kita akan melakukan diferensiasi pada Persamaan (1) terhadap ni, sehingga diperoleh
mensubstitusikan ke Persamaan (2), maka
Untuk menentukan titik maksimum, diferensial F terhadap ni harus nol, sehingga
dengan demikian, kita akan peroleh hubungan
(3)
Persamaan (3) ini adalah persamaan umum dari distribusi Fermi-Dirac. Kita dapat mengubah Persamaan (3) dalam bentuk lain, yaitu dengan mendefinisikan
sehingga
kita bisa mendefinisikan apa itu EF dengan mengasumsikan nilai β = -∞, sehingga dengan demikian, ketika Ei < EF, suku eksponensial akan menjadi 0, sehingga
yang menyatakan bahwa semua siswa yang ada di kelas i akan menempati tempat duduk yang kas tagihannya paling murah (probabilitas ditempatinya tempat duduk tersebut adalah 1). Sedangkan ketika Ei > EF, kita akan memperoleh ni/ng = 0, menandakan bahwa probabilitas adanya siswa yang menduduki bangku dengan tagihan kas yang lebih besar dari EF adalah nol. Dari sini dapat dikatakan bahwa nilai dari EF adalah perolehan kas terbanyak ketika para siswa memilih bangku dengan tagihan kas termurah. Misal, apabila dalam kelas i para siswa memilih bangku-bangku tersebut, perolehan kas pada kelas i hanya akan mencapai nilai paling banyak yaitu EF.
Sistem kas seperti inilah yang berlaku pada sistem elektron atau partikel fermion lainnya. Berdasarkan larangan Pauli, tiap keadaan hanya dapat ditempati oleh satu elektron, sama seperti analogi dimana tiap tempat duduk hanya dapat ditempati oleh satu siswa. Tagihan kas yang disebutkan sebelumnya merupakan analogi dari tingkat energi yang dimiliki oleh elektron pada keadaan tertentu, sedangkan EF dalam fisika disebut sebagai energi fermi, yaitu tingkat energi terbesar yang dapat ditempati elektron-elektron pada suhu nol mutlak, identik dengan kasus ketika siswa-siswa dalam suatu kelas memilih tempat duduk yang paling murah, sehingga menyebabkan perolehan kas maksimum pada kelas tersebut bernilai sebesar EF, atau kita bisa sebut sebagai “tagihan kas fermi”. Selanjutnya, kita akan fokus ke sistem elektron menggunakan distribusi Fermi-Dirac ini, serta mengetahui apa sebenarnya parameter β tersebut dalam sistem elektron.
Distribusi Fermi-Dirac, beserta dengan distribusi Maxwell-Boltzmann dan Bose-Einstein, selain digunakan untuk mempelajari perilaku partikel fisis dalam jumlah banyak, juga dapat digunakan untuk memodelkan sistem ekonomi dalam bidang studi ekonofisika, yang lahir pada tahun 1997.
Science and Games 