Prev : Medan Elektromagnetik dan Penyimpangan Hukum Newton III
Sebelumnya kita telah membahas bagaimana medan elektromagnet dapat menyimpang hukum Newton III, dimana besar gaya elektromagnet yang dialami kedua muatan titik adalah sama, namun arahnya tidak berlawanan. Sekarang kita akan menginvestigasi lebih lanjut tentang gaya elektromagnet itu sendiri. Gaya elektromagnet dituliskan sebagai
Kita dapat mendefinisikan
sebagaimana
dimana f dan ρ adalah rapat gaya elektromagnet dan muatan pada volume τ. Sehingga
Karena J = ρv, maka
Kita dapat mensubstitusikan nilai ρ dan J menggunakan persamaan Maxwell 1 dan 4, yaitu
sehingga
Dari suku ketiga menggunakan aturan produk gradien dot product
dan suku keempat
serta karena dB/dt = -∇ × E, maka
Sama seperti sebelumnya, suku ketiga ruas kanan adalah
Sehingga
Kita tahu bahwa suku terakhir akan menghasilkan vektor poynting, serta kita dapat merapihkan persamaan ini menjadi
Agar persamaan menjadi lebih simetris, kita dapat memasukkan persamaan Maxwell kedua (ini tidak masalah, karena ∇ • B = 0, sehingga memasukkan nilai ini ke dalam persamaan dimana saja tidak akan merubah apapun), sehingga
(1)
Persamaan di atas terlalu panjang. Kita perlu menyederhanakannya supaya mudah dicerna. Pada suku terakhir sudah jelas merupakan bentuk vektor poynting, sehingga kita dapat membiarkannya. Suku pertama dan kedua memiliki bentuk yang identik, sehingga kita dapat menyederhanakan masing-masing suku dengan cara yang sama. Kita ambil contoh (∇ • E)E, pertama, kita dapat mendefinisikan E sebagai
atau kita dapat mempermudah penulisan menjadi
dimana i adalah indeks koordinat (x, y, atau z). Maka divergensi dari E ini adalah
Namun, apabila kita kalikan dengan E, maka
sehingga menyebabkan adanya komponen vektor baru sebanyak tiga untuk tiap ketiga vektor yang ada sebelumnya. Indeks j digunakan untuk membedakan dengan vektor dalam i. Vektor yang berevolusi ini disebut sebagai tensor. Kita bisa melihat untuk bentuk lain, yaitu (E • ∇)E, akan menghasilkan
Delta Kronecker δ digunakan untuk memberikan nilai nol apabila i ≠ j, berdasarkan kenyataan bahwa turunan dari nilai skalar E terhadap jarak yang tidak berada pada koordinatnya adalah nol. Delta Kronecker ini juga akan muncul pada ∇E²/2, yakni
Berkat adanya delta Kronecker, indeks i pada vektor satuan x dapat diganti dengan indeks j untuk menyamakan dengan yang lain, sehingga secara keseluruhan kita peroleh
Ketiga suku diatas pada dasarnya adalah bentuk dari divergensi, dan berdasarkan aturan turunan berantai, suku pertama dan kedua apabila dijumlahkan akan menghasilkan suatu bentuk divergensi terhadap vektor i, sehingga kita peroleh
Karena semua suku merupakan bentuk divergensi, maka bentuk ini dapat kita misalkan kedalam bentuk divergensi yang lain, seperti
(2)
Sehingga
dan disebut sebagai tensor tegangan Maxwell. Namun, persamaan ini masih belum lengkap, karena belum termasuk komponen medan magnet. Menggunakan cara yang sama, kita akan memperoleh seperti halnya persamaan diatas, yaitu
sehingga persamaan lengkapnya adalah
Persamaan ini apabila diambil nilai divergensinya, maka akan menghasilkan persamaan yang sama seperti Persamaan (2), sehingga kembali ke Persamaan (1), kita memperoleh
atau apabila kita kembalikan pada bentuk semula
Perhatikan bahwa ketika pada keadaan statis, suku kedua akan hilang (karena tidak ada perubahan medan listrik dan medan magnet), sehingga persamaan ini dapat digunakan untuk berbagai kasus, dan T dapat diartikan sebagai gaya per satuan luas permukaan tertutup.
Science and Games 