Prev : Deret Pangkat : Deret Taylor dan Maclaurin
Sebelumnya, kita telah membahas tentang deret Taylor dan Maclaurin, yang merupakan penjabaran dari deret pangkat untuk menentukan nilai konstanta-konstanta dengan melakukan penurunan terhadap deret pangkat sebanyak beberapa kali. Sekarang, kita akan menerapkan deret pangkat ini untuk beberapa fungsi yang rumit yang pada dasarnya tidak dapat dioperasikan langsung menggunakan penjumlahan atau perkalian seperti fungsi trigonometri.
Pada artikel ini, kita akan menggunakan fungsi sin(x) sebagai contoh. Perlu dicatat bahwa penerapan deret pangkat ini dilakukan dengan asumsi bahwa setiap fungsi dapat dinyatakan dalam deret pangkat. Dengan kata lain, kita akan mengasumsikan bahwa terdapat suatu fungsi deret pangkat yang nilainya sama dengan fungsi sin(x), atau secara matematis dapat kita tuliskan sebagai
(1)
Kita akan melakukan hal yang sama seperti halnya ketika kita menurunkan deret Maclaurin sebelumnya. Pertama kita akan menentukan nilai a0 dengan mensubstitusikan x = 0. Dengan demikian, ruas kiri akan menjadi nol (karena sin(x) =0), dan ruas kanan akan menyisakan a0, sehingga kita peroleh a0 = 0, dan Persamaan (1) menjadi
(2)
Selanjutnya, kita akan menurunkan Persamaan (2) untuk menentukan nilai a1, dan menurunkannya lagi untuk nilai a2, dan seterusnya. Untuk turunan pertama, Persamaan (2) akan menjadi
(3)
Apabila kita substitusikan nilai x = 0, maka karena nilai cos(0) = 1, kita peroleh nilai a1 = 1, sehingga Persamaan (1) menjadi
(4)
Kita akan terus menerus menurunkan Persamaan (4) hingga sebanyak n kali agar kita mendapatkan nilai dari a2, a3, a4, dan seterusnya. Perlu diperhatikan bahwa untuk kali penurunan dengan nilai genap, atau apabila kita turunkan untuk kali kedua, keempat, dan seterusnya, ruas kiri akan menjadi fungsi sin(x) dengan nilai negatif yang berselang seling, dan kita dapat langsung menebak bahwa a2, a4, a6, dan seterusnya akan bernilai nol, sehingga kita hanya perlu menentukan konstanta an dengan indeks ganjil saja. Melanjutkan Persamaan (3), apabila kita turunkan dua kali akan kita peroleh
(5)
Mensubstitusikan nilai x = 0, kita peroleh
Dari hasil a3 ini tentunya kita sudah bisa memprediksikan nilai dari a5, dan seterusnya. Apabila kita lihat pola dari Persamaan (5), maka apabila kita turunkan dua kali, kita akan peroleh bahwa bentuk (5)(4)(3) akan menjadi (5)(4)(3)(2) atau 5!. Dengan demikian kita peroleh juga nilai a5 adalah
begitu juga nilai a7, yaitu
sehingga kita peroleh deret pangkat dari fungsi sin(x) adalah
\
atau
Science and Games 