Muatan Bergerak : Model Drude

Prev : Hukum Ohm dan Resistivitas

Pada artikel sebelumnya kita telah membahas salah satu hukum utama dalam bidang kelistrikan, yaitu hukum Ohm. Hukum Ohm mendeskripsikan bagaimana hubungan antara arus dan beda potensial, yang dimana kita ketahui adalah sebanding dengan konstanta kesebandingan berupa konduktansi atau hambatan dari sistem.

Namun, perlu dicatat bahwa hukum Ohm yang dibahas sebelumnya hanya ditinjau secara makroskopik. Tentunya hukum Ohm yang kita ketahui hingga saat ini tidak menjelaskan secara rinci apa yang terjadi pada partikel-partikel bermuatan dalam sistem ketika medan listrik diterapkan pada masing-masing ujungnya. Terlebih, pembahasan yang kita lakukan sebelumnya hanya berdasarkan asumsi bahwa J sebanding dengan E, tanpa mengonfirmasi keakuratan asumsi yang telah kita buat. Dalam artikel ini kita akan mencoba mengidentifikasi ulang hubungan antara J dan E, namun kali ini kita akan meninjau hal tersebut secara mikroskopis, atau apa yang terjadi pada elektron-elektron ketika berada dalam medan listrik.

Hal yang pertama kita lakukan adalah memberikan asumsi bahwa gaya yang bekerja pada masing-masing elektron didominasi oleh gaya Coulomb dari kedua ujung sistem, yang kita ketahui dapat diungkapkan dengan

Perhatikan bahwa alih-alih q, kita menggunakan nilai –e, dimana e adalah besar muatan elementer atau muatan satu elektron dengan massa m. Pada ruas kiri kita dapat mensubstitusikannya dengan hukum Newton kedua, yaitu

Kita dapat memodelkan pergerakan elektron seperti pada gambar berikut.

Kita mengamati bahwa elektron belum tentu bergerak lurus ke tujuan akhir. Bisa saja elektron tersebut menumbuk elektron lain yang menyebabkan resultan arah geraknya berubah. Resultan gaya yang dikerjakan oleh elektron dari titik awal ke titik akhir adalah

Tentu saja akan sangat sulit bagi kita untuk menghitung satu per satu nilai dan vektor dari v˙. Namun kita hanya perlu memperhitungkan kondisi akhirnya saja, yaitu kondisi ketika elektron berada di tempat tujuan. Oleh karena itu kita bisa memangkas Persamaan (2) menjadi

dimana v˙_d sebagaimana yang telah kita ketahui pada beberapa artikel sebelumnya terkait rapat arus merupakan kecepatan drift dari elektron.

Persamaan (3) ini pada dasarnya sudah cukup untuk mendefinisikan hukum Ohm, mengingat bahwa

dan

dimana t_d adalah suatu konstanta waktu yang merupakan waktu tempuh elektron dari titik awal ke titik akhir. Perhatikan bahwa kita menghapus bentuk infintesimal, mengingat bahwa dalam konteks ini v_d dan t_d merupakan suatu nilai. Apabila kita substitusikan Persamaan (4) ke (1), maka kita peroleh

Perhatikan bahwa tanda negatif menunjukkan bahwa arah gerak elektron berlawanan dengan medan listrik. Tentunya kita dapat mencapai Persamaan (5) dengan hanya meninjau satu elektron saja. Untuk elektron yang berjumlah n, Persamaan (1) menjadi

sedangkan Persamaan (2) akan menjadi lebih rumit, mengingat kita meninjau sistem dengan banyak partikel, sehingga jumlah keseluruhan gaya pada sistem (sekumpulan elektron) adalah

Dengan kata lain, kita juga perlu memperhitungkan kecepatan drift dari masing-masing elektron. Namun, sama seperti sebelumnya, bahwa sistem ini pada dasarnya merupakan sistem statistik, dimana kita tidak perlu melakukannya. Oleh karena itu, kita hanya perlu menghitung rata-rata dari percepatan masing-masing partikel saja , yaitu

dimana v_da merupakan kecepatan drift rata-rata elektron, dan t_da merupakan konstanta waktu. Konsekuensinya,

Dan apabila kita substitusikan ke Persamaan (6), maka kita akan memperoleh ungkapan yang sama seperti Persamaan (5). Kita dapat melihat bahwa untuk lebih dari satu elektron, ungkapan yang kita peroleh sama seperti yang tertulis pada Persamaan (5). Oleh karena itu kita dapat mengatakan bahwa persamaan tersebut cukup umum.

Persamaan (5) sebenarnya sudah cukup untuk dapat dinyatakan sebagai hukum Ohm. Apabila kita turunkan lebih lanjut, kita dapat mengungkapkan J menjadi

mengingat bahwa ρ = q/τ = –ne/τ. Umumnya beberapa literatur mendefinisikan n sebagai jumlah partikel dalam suatu ruangan bervolume τ (jumlah partikel per volume), sehingga apabila kita mendefinisikan n dengan cara yang sama, maka Persamaan (7) menjadi

Dengan demikian, apabila Persamaan (5) kita kalikan kedua ruas dengan –ne, kita peroleh

Seperti yang telah kita lihat, Persamaan (6) merupakan hukum Ohm yang telah kita ketahui sebelumnya, dengan

Dari sini dapat kita simpulkan bahwa hukum Ohm pada dasarnya dapat dibuktikan secara mikroskopis. Perhatikan pula bahwa tanda negatif dari Persamaan (9) hilang, menyatakan bahwa arah J sama dengan arah E. Dengan kata lain, J merupakan aliran listrik dari hole, bukan mewakili aliran elektron secara langsung.

Model pergerakan yang kita kaji dalam artikel ini dikenal sebagai model Drude. Dalam model ini, agar Persamaan (10) ini berlaku maka digunakan beberapa asumsi. Asumsi yang pertama adalah elektron bergerak lurus setelah mengalami tumbukan, seperti yang telah kita ketahui dari gambar di atas. Asumsi kedua adalah waktu antar tumbukan adalah t_da, sedangkan asumsi terakhir adalah bahwa sistem berada di kesetimbangan termal, untuk memastikan bahwa besaran-besaran lain tidak mengalami perubahan. Tentunya validitas dari model ini masih bisa diperdebatkan, mengingat bahwa model ini merupakan model klasik atau model pre-kuantum.

Next : Energi dan Daya Listrik