Prev : Distribusi/Statistik Maxwell-Boltzmann (Fungsi Partisi)
Kita akan membahas salah satu penerapan dari distribusi Maxwell-Boltzmann untuk suatu sistem dalam keseimbangan termal pada suhu tertentu T. Persamaan umum distribusi Maxwell-Boltzmann kita ketahui memiliki ungkapan sebagai
(1)
Jika sebelumnya kita telah membahas sistem dua tingkat energi, maka sekarang kita akan menganggap sistem ini memiliki tingkat energi yang kontinu. Dengan demikian kita dapat mengubah Persamaan (1) menjadi
(2)
Kita juga telah mengetahui dari pembahasan sebelumnya tentang fungsi partisi bahwa fungsi probabilitas partikel untuk menempati tingkat energi tertentu P(E) secara matematis merupakan jumlah partikel dalam tingkat energi E per jumlah partikel dalam sistem secara keseluruhan, atau
(3)
Alih-alih menggunakan fungsi Z yang telah kita tentukan sebelumnya, kita akan menganggap fungsi ini sebagai suatu konstanta sembarang, sehingga dapat ditulis dalam bentuk lain. Nilai Z ini ditentukan melalui proses normalisasi, atau mengintegralkan fungsi P(E) dengan batas nol sampai tak hingga, dengan syarat hasil pengintegralan tersebut harus bernilai satu, atau
(4)
yang mengatakan bahwa luas di bawah kurva P(E) harus bernilai satu. Dari hasil pengintegralan di atas kita akan peroleh bahwa
(5)
Ini adalah salah satu alasan mengapa fungsi Z pada dasarnya juga merupakan fungsi normalisasi, yakni suatu fungsi yang membuat jumlah dari semua probabilitas menjadi satu. Apabila kita masukkan Persamaan (5) ke (3) kita peroleh
(6)
Berikut adalah kurva untuk P(E) dengan tiga nilai T yang berbeda. Kita dapat memasukkan nilai kB = 1, mengingat yang kita perlukan hanyalah kurvanya saja.
Seperti yang telah kita lihat, semakin tinggi suhu sistem, maka distribusi partikel pada tingkat energi yang lebih tinggi akan semakin besar. Kemudian ketika suhu semakin besar hingga mendekati tak hingga, kurva akan mendekati linier, menandakan distribusi partikel yang merata. Ini konsisten dengan hasil yang kita peroleh dalam pembahasan sebelumnya ketika kita membahas sistem dua tingkat energi, yakni ketika suhu mencapai tak hingga, probabilitas kedua tingkat energi untuk ditempati partikel adalah sama, yaitu 0.5. Namun, untuk kurva P(E) ini, kelinieran tersebut terlihat ketika P(E) = 0. Ini pada dasarnya tidak masalah, mengingat nilai tak hingga bukan merupakan bilangan real, dengan jumlah tingkat energi yang nilainya tak berhingga pula.
Satu hal lagi yang perlu diperhatikan adalah apabila kita lihat dari bentuk fungsinya, tampak bahwa fungsi probabilitas P(E) memiliki dimensi yang berupa invers dari energi (kita dapat mengetahuinya melalui pangkat dari eksponensial E/kBT), yang pada seharusnya suatu fungsi probabilitas tidak memiliki dimensi. Oleh karena itu, fungsi probabilitas ini umumnya disebut sebagai rapat probabilitas, yaitu probabilitas dalam suatu rentang, dalam hal ini adalah energi.
Next : Distribusi/Statistik Maxwell-Boltzmann (Rata-rata Energi Partikel dan Energi Dalam)
Science and Games 