Distribusi/Statistik Maxwell-Boltzmann (Fungsi Partisi)

Prev : Distribusi/Statistik Maxwell-Boltzmann (Sistem Dua Tingkat Energi)


Ketika kita berbicara tentang distribusi Maxwell-Boltzmann, kita mengetahui adanya suatu fungsi yang kita kenal sebagai fungsi partisi, yang diungkapkan sebagai

5sutow (12) (1)

Kita akan membahas lebih dekat makna fisis dari fungsi ini. Tentunya kita mengingat bahwa persamaan distribusi Maxwell-Boltzmann dituliskan sebagai

19qfu2 (11)

atau kita dapat menuliskannya dengan

581iln (2)

Dengan demikian, dapat kita lihat bahwa bentuk 6mpxdf pada dasarnya merupakan bentuk probabilitas Pi, yakni suatu nilai yang memiliki rentang antara nol dan satu, sehingga Persamaan (2) dapat ditulis menjadi

581iln (2) (3)

dengan

6mpxdf (2) (4)

Persamaan (2) atau (3) dapat kita maknai secara sederhana, yaitu tentang bagaimana partikel dalam suatu sistem yang berjumlah sebanyak N terdistribusi pada tingkat energi yang berbeda-beda, dimana partikel yang berjumlah ni memiliki probabilitas sebesar Pi untuk menempati tingkat energi Ei. Seperti yang telah dilihat, nilai probabilitas ini memiliki indeks, yang berarti bahwa tiap tingkat energi memiliki probabilitas yang berbeda-beda untuk ditempati oleh partikel. Namun, apabila semua dijumlahkan, kita seharusnya akan memperoleh nilai satu, sesuai dengan sifat dari bilangan probabilitas. Apabila kita lakukan penjumlahan total pada ruas kiri dan kanan, kita peroleh

6mpxdf (3)

Bagian pembilang pada ruas kanan tentu saja fungsi Z itu sendiri, sehingga

6mpxdf (4)

atau dengan kata lain Pi telah ternormalisasi, sesuai dengan apa yang kita harapkan. Dari sini dapat kita lihat bahwa fungsi Z ini memiliki peran penting untuk menormalisasi fungsi 581iln (3), karena tanpa fungsi tersebut jumlah probabilitas tidak menjadi satu.

Tentu saja ini masih merupakan makna matematis dari fungsi Z. Untuk mengetahui makna fisisnya, kita perlu memperhatikan fungsi Z pada Persamaan (1) tadi. Seperti yang telah kita lihat, bentuk 581iln (3) pada dasarnya mewakili tingkat energi i, namun dalam bentuk eksponensial. Lebih lengkapnya, Persamaan (1) dapat kita urai menjadi

6mpxdf (5) (5)

sehingga dapat kita lihat bahwa fungsi Z ini merupakan penjumlahan dari bentuk 581iln (3) untuk tingkat energi 1, 2, dan seterusnya. Dengan demikian, kita dapat mengartikan fungsi Z ini sebagai jumlah dari semua tingkat energi yang mungkin.

Perlu diingat bahwa kita masih menggunakan tingkat energi yang bersifat diskrit. Kembali ke Persamaan (1), apabila kita ingin mengubahnya menjadi fungsi Ei yang kontinu, kita perlu mengubahnya menjadi bentuk

6mpxdf (6)  (6)

Namun, permasalahannya adalah dalam Persamaan (1) kita tidak memiliki bentuk selisih. Untuk memecahkan masalah ini, kita dapat menggunakan trik seperti halnya periode dan frekuensi gelombang. Apabila periode didefinisikan sebagai rentang waktu, maka frekuensi didefinisikan sebagai banyaknya osilasi gelombang dalam rentang waktu satu detik. Kita dapat menganalogikan periode sebagai rentang tingkat energi ΔE, sedangkan frekuensi dapat dianalogikan sebagai banyaknya tingkat energi dalam rentang tingkat energi ΔE, yang akan kita lambangkan sebagai g(Ei) dan kita sebut sebagai rapat keadaan. Dengan demikian kita dapat menuliskan hubungan

581iln (4)

atau

581iln (5) (7)

Kita bisa saja memasukkan Persamaan (7) ke (1), mengingat bahwa hasil kali g(Ei) dengan ΔE memberikan nilai satu, sehingga Persamaan (1) menjadi

6mpxdf (8) (8)

Apabila ΔE bernilai sangat kecil atau infinitesimal dan penjumlahan dilakukan mendekati limit tak hingga, maka Persamaan (8) bisa kita ubah dalam bentuk integral, yakni

6mpxdf (9)

yang merupakan fungsi partisi untuk tingkat energi yang kontinu. Dalam sistem yang kontinu umumnya integrasi dilakukan dengan batas bawah nol dan batas atas tak hingga.

6mpxdf (10) (9)


Next : Distribusi/Statistik Maxwell-Boltzmann (Distribusi Partikel Klasik pada Tingkat Energi Kontinu)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: