Katakanlah bahwa kita memiliki bola (atau batu) yang berjumlah sangat banyak. Masing-masing bola tersebut kita bedakan dengan angka, kita labeli dengan angka satu, dua, dan seterusnya hingga angka N, yang merupakan jumlah keseluruhan bola yang kita miliki tersebut. Selanjutnya, siapkan wadah dengan jumlah sebanyak j untuk menampung bola-bola tadi, dan berikan angka satu, dua, hingga j pada wadah-wadah tersebut. Kemudian, letakkan bola-bola tadi ke dalam masing-masing wadah secara sembarang. Karena bola-bola tersebut berbeda, maka pada dasarnya banyaknya cara untuk meletakkan bola-bola tersebut ke dalam masing-masing wadah dengan pola yang sama dapat ditentukan dengan hubungan
(1)
dimana n1, n2, dan nj adalah banyaknya bola di dalam wadah pertama, kedua, dan ke-j. Apabila kedua ruas dituliskan dalam bentuk logaritma natural maka diperoleh
(2)
Karena nilai N sangat besar, dan diasumsikan pula masing-masing wadah menampung bola yang jumlahnya cukup besar, maka menggunakan pendekatan Stirling
akan diperoleh hubungan
(3)
Sekarang, atur ulanglah susunan bola-bola tersebut menjadi pola yang baru, dengan memindah beberapa bola dari wadah satu ke wadah yang lain. Melakukan hal ini akan memberikan konsekuensi berubahnya nilai n1, n2, dan seterusnya hingga nj, sehingga perubahan nilai ini dapat kita nyatakan sebagai dn1, dn2, hingga dnj, atau kita hanya membutuhkan dnj saja apabila bentuk tersebut telah kita nyatakan dalam bentuk penjumlahan atau summasi. Tentu saja ini akan memberikan konsekuensi berubahnya nilai W, atau ln W, mengingat bahwa ketika satu variabel berubah, variabel lain juga harus berubah. Ini masuk akal karena pola yang berbeda dapat memiliki jumlah cara yang berbeda pula. Dengan demikian Persamaan (3) menjadi
(4)
Perhatikan bahwa bentuk N hilang karena merupakan bilangan yang tetap. Sekarang, kita mengingat bahwa wadah-wadah yang digunakan untuk menampung bola tadi telah kita tandai dengan angka. Kalikan angka tersebut dengan jumlah bola pada masing-masing wadah yang bersangkutan (misal, pada wadah kedua terdapat 50 bola, maka kalikan angka 2 dengan 50, sehingga kita peroleh nilai seratus), kemudian jumlahkan semua hasil kali tersebut untuk setiap wadah, dimana hasil dari penjumlahan tersebut kita lambangkan sebagai U. Apabila nomor wadah ke-i adalah Ei, maka nilai U adalah
(5)
Seperti yang telah dikatakan sebelumnya, perubahan susunan bola dapat mengakibatkan berubahnya nilai W. Sekarang, kita ingin membuat nilai W maksimum, namun kita dapat menggunakan Persamaan (5) sebagai batasan, yakni suatu kondisi ketika nilai U tidak berubah ketika terdapat perubahan pola, atau dU = 0.
(6)
Di sisi lain kita juga membatasi bahwa jumlah bola yang kita miliki secara keseluruhan tidak bertambah (kita hanya memindahkan bola-bolanya saja), sehingga
(7)
Kita dapat menggunakan pengali Lagrange untuk mengetahui nilai maksimum dari Persamaan (4), dengan menggabungkannya dengan batasan (6) dan (7) (kita menghilangkan nilai j di atas tanda sigma untuk mempermudah).
(8)
Dengan demikian apabila suku pertama disubstitusikan dengan Persamaan (4) diperoleh
(9)
. Karena dni, merupakan bilangan tidak nol yang sangat kecil, maka agar Persamaan (9) berlaku hasil operasi yang berada di dalam tanda kurung harus nol, sehingga
dan kita peroleh
(10)
Persamaan (10) merupakan persamaan distribusi yang disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann. Perlu dicatat bahwa kita mengubah bentuk eksponensial α dengan A, mengingat bahwa kita belum menentukan nilai α. Konstanta tersebut dapat dikatakan sebagai konstanta normalisasi.
Sejauh ini kita telah menggunakan analogi bola dan wadah untuk menjelaskan apa itu distribusi Maxwell-Boltzmann. Dalam fisika statistik, bola-bola tersebut merepresentasikan partikel, dan angka-angka yang terdapat dalam bola memiliki arti bahwa partikel tersebut dapat dibedakan. Selain itu, wadah-wadah yang digunakan untuk menampung bola merepresentasikan keadaan energi (energy state), dengan angka-angka yang terdapat dalam wadah menunjukkan tingkat energinya (energy level). Ketika kita memindahkan bola-bola ke dalam wadah yang berbeda untuk merubah pola susunan bola, kita juga menggambarkan bahwa partikel-partikel dapat memiliki tingkat energi yang berubah-ubah sewaktu-waktu. Untuk selanjutnya, kita akan melupakan bola-bola dan wadah-wadah tadi, kita akan memulai berbicara fisika.
Persamaan (5) tadi pada dasarnya merupakan total energi dari sistem atau energi dalam U, yang dapat diperoleh secara intuitif – setiap partikel menyumbangkan energi sebesar nilai tingkat energi tersebut. Di sisi lain Persamaan (6) menyatakan tidak adanya perubahan energi, yang disebut sebagai kesetimbangan termal (thermal equilibrium). Persamaan (10) merupakan konsekuensi dari kesetimbangan termal tersebut, yang mendeskripsikan banyaknya jumlah partikel pada tingkat energi tertentu (Ei). Apabila kita substitusikan Persamaan (5) dengan Persamaan (10) maka kita peroleh
(11)
Kita juga bisa mensubstitusikan Persamaan (3) dengan Persamaan (10), sehingga kita peroleh
(12)
Disubstitusikan dengan Persamaan (11), maka
(13)
Apabila kita turunkan parsial Persamaan (13) terhadap U, maka
(14)
Persamaan ini identik dengan hubungan antara entropi dengan energi dalam U, yakni
(15)
Karena entropi S dan jumlah cara W sama-sama memiliki perubahan terhadap energi dalam U, maka pada dasarnya kita dapat mengatakan bahwa S memiliki kesebandingan terhadap W, yang kemudian ditulis sebagai
(16)
dan dikenal sebagai persamaan entropi Boltzmann. Konstanta kB merupakan konstanta kesebandingan yang dikenal pula sebagai konstanta Boltzmann, yang memiliki nilai sebesar 1.38064852 × 10-23 m2 kg s-2 K-1. Apabila kita substitusikan Persamaan (15) dengan Persamaan (16) kita peroleh
(17)
Kemudian dengan Persamaan (16), akan diperoleh hubungan
(18)
sehingga Persamaan (10) menjadi
(19)
Dari sini kita dapat melihat bahwa semakin tinggi tingkat energinya, populasi partikel semakin kecil secara eksponensial. Namun, persamaan ini belum lengkap karena masih ada konstanta yang perlu kita tentukan, yaitu A. Untuk menentukannya, kita dapat melakukan penjumlahan kedua ruas hingga tingkat energi ke-j, yaitu
Perhatikan bahwa bentuk penjumlahan di ruas kiri berubah menjadi N, mengingat bahwa Σni = N, serta konstanta A dapat kita keluarkan dari bentuk penjumlahan karena bernilai tetap. Dengan demikian kita peroleh bahwa
(20)
dan Persamaan (19) menjadi
(21)
Ini adalah bentuk lengkap dari distribusi Maxwell-Boltzmann. Bagian penyebut dapat kita nyatakan dalam suatu fungsi Z, yaitu
(22)
yang disebut sebagai fungsi partisi. Dengan demikian Persamaan (21) dapat ditulis menjadi
Next : Distribusi/Statistik Maxwell-Boltzmann (Sistem Dua Tingkat Energi)
Science and Games 