Prev : Kalkulus : Turunan – Perubahan Gradien (Turunan Kedua)
Pada artikel sebelumnya kita telah membahas makna dari turunan kedua, yang merupakan perubahan gradien dari suatu fungsi. Dalam artikel tersebut kita menggunakan contoh fungsi sederhana, yakni fungsi x².
Kali ini kita akan mencoba untuk meninjau fungsi yang lebih rumit. Katakanlah fungsi f(x) tersebut adalah
dengan kurvanya dapat digambarkan seperti berikut.
Gambar 1.
Seperti yang dapat kita lihat, untuk fungsi ini kita memperoleh dua bagian kurva dengan kecekungan yang berbeda. Apabila kita hitung gradien pada masing-masing titik mulai dari katakanlah x = -2, maka kita peroleh bahwa gradien dari fungsi ini mengalami penurunan, hingga pada satu titik dimana gradien mulai mengalami kenaikan. Titik ini disebut sebagai titik belok, yaitu titik dimana gradien suatu fungsi mulai berubah arah dalam hal perubahan gradien, seperti halnya ketika mobil membelok dari membelok ke arah kiri menuju ke arah kanan, atau sebaliknya.
Untuk mengetahui letak titik belok tersebut, maka kita perlu mengetahui kurva fungsi gradien dari f(x), yang dapat ditunjukkan dalam gambar berikut.
Gambar 2.
Kurva berwarna hitam merupakan kurva f(x), sedangkan kurva berwarna biru adalah fungsi turunannya, yaitu f’(x) yang secara matematis dapat dituliskan sebagai
Kurva berwarna biru pada gambar di atas sudah cukup untuk merepresentasikan nilai gradien dari kurva f(x) untuk beberapa nilai x yang penting. Sebagai contoh, kita mengingat bahwa titik ekstrim dari fungsi f(x) terletak pada nilai x dimana f’(x) = 0, satu absis dengan kurva f(x) ketika memiliki garis singgung yang datar. Karena kurva berwarna biru merupakan kurva fungsi kuadrat, maka kita dapat menentukan titik ekstrimnya dengan cara yang sama seperti sebelumnya, yaitu kita turunkan fungsi f’(x) sehingga kita peroleh fungsi f”(x), dan menggunakan hubungan f”(a) = 0 dengan a adalah nilai absis dari titik ekstrim f’(x). Dengan demikian apabila kita turunkan dua kali fungsi f(x), maka kita peroleh
dan menggunakan hubungan f”(a) = 0, kita peroleh bahwa a = 1. Kemudian apabila kita lihat kembali grafik pada Gambar 2, kita peroleh bahwa ketika x = a atau x = 1, yang terjadi pada kurva fungsi f(x) adalah kurva tersebut mengalami perubahan kecekungan, dimana pada awalnya kurva berbelok ke arah sumbu f(x) negatif kemudian berubah menjadi ke arah sumbu f(x) positif. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa fungsi f(x) di atas memiliki titik belok pada x = 1.
Dari contoh ini, dapat kita simpulkan bahwa titik belok dari fungsi f(x) sebenarnya adalah titik ekstrim dari fungsi gradien dari f(x) itu sendiri. Pada dasarnya tidak ada yang baru dari pembahasan titik belok ini, melainkan hanyalah pengembangan dari konsep titik ekstrim yang telah kita pelajari. Kita bisa saja menentukan turunan ketiga, keempat, dan seterusnya, namun kurang begitu dibutuhkan, karena umumnya tiap sistem hanya membutuhkan turunan kedua, yang akan kita bahas di kemudian hari.
Science and Games 