Kalkulus : Turunan – Perubahan Gradien (Turunan Kedua)

Prev : Kalkulus : Turunan – Asimtot Datar

Sebelumnya kita telah membahas beberapa hal terkait dengan titik ekstrim. Seperti yang telah kita ketahui, letak titik ekstrim dapat diperoleh dengan menentukan turunan pertama dari f(x) kemudian menggunakan hubungan f’(a) = 0, sehingga kita peroleh nilai a dan f(a).

Namun, apa yang terjadi jika kita turunkan dua kali fungsi f(x) tersebut? Lebih tepatnya, informasi apa yang dapat kita peroleh dari f”(x)? Kita akan menjawab pertanyaan ini secara perlahan, dimulai dari turunan pertama hingga turunan kedua.

Kita mengetahui bahwa turunan pertama dari f(x) akan menghasilkan gradien dari kurva f(x) untuk nilai x tertentu, yaitu f’(x). Apabila fungsi f’(x) yang kita peroleh tidak bergantung pada x, atau dengan kata lain bernilai konstan, maka kita tahu bahwa fungsi f(x) tersebut merupakan fungsi garis lurus, dimana di setiap titik x gradiennya akan tetap sama. Namun, bagaimana jika f’(x) bergantung pada x? Ambil fungsi f(x) =  sebagai contoh. Fungsi tersebut memiliki kurva sebagai berikut.

xkuadrat.png

Apabila kita buat setidaknya tiga garis singgung di titik x sembarang, maka kita ketahui bahwa gradien dari ketiga garis tersebut berubah. Garis singgung berwarna biru menyinggung kurva f(x) ketika x = -2 dengan gradien sebesar -4, sedangkan garis singgung lain menyinggung ketika x = 0 dan x = 2 dengan gradien sebesar nol dan 4.

xkuadrat2.png

Seperti yang telah kita lihat, kurva f(x) = x² memiliki gradien yang berubah-ubah, dan bergantung pada nilai x. Apabila kita turunkan fungsi tersebut, maka kita peroleh fungsi f’(x) = 2x. Artinya, untuk nilai x berbeda, gradien dari fungsi f(x) berubah dua kalinya.

Selain itu, apabila kita amati fungsi f’(x) yang kita peroleh, maka kita ketahui bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi garis lurus dengan gradien sebesar 2, atau

x791ro (6)

Dengan kata lain, turunan kedua dari fungsi f(x) adalah gradien dari gradien fungsi f(x), atau perubahan dari gradien dari fungsi f(x). Dari contoh diatas, kita ketahui bahwa gradien dari fungsi f(x) bertambah dua kali lebih besar dari sebelumnya seiring dari bertambahnya x.

Contoh lain, kita akan tinjau fungsi f(x) = –x². Fungsi ini pada dasarnya merupakan cerminan dari fungsi sebelumnya, dengan kurva sebagai berikut.

xkuadratm2.png

Seperti yang dapat kita lihat, gradien dari fungsi ini juga berubah terhadap x, namun dengan perubahan yang berbeda. Pada titik x = -2 gradien dari fungsi f(x) kali ini adalah 4, kemudian pada titik x = 0 adalah 0, dan terakhir pada titik x = 2 adalah -4. Dapat dilihat bahwa untuk kasus ini pertambahan nilai x menyebabkan pengurangan gradien dua kali lipat gradien pada titik x sebelumnya, berbeda dengan kasus sebelumnya dimana gradien bertambah dua kali lipatnya. Dari kedua kasus ini dapat kita simpulkan bahwa

Apabila f”(x) > 0, maka kurva akan membelok ke arah sumbu f(x) positif, sedangkan apabila f”(x) < 0, maka akan membelok ke arah sumbu -f(x) negatif

Hal ini dapat dilihat dari fakta bahwa pada kasus pertama fungsi x² membentuk kurva yang membelok ke atas yang menandakan kenaikan gradien, dan sebaliknya untuk kasus kedua.

Next : Kalkulus : Turunan – Titik Belok

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: