Kalkulus : Turunan – Aturan Rantai (Aturan 2)

Prev : Kalkulus : Turunan – Turunan dari Perkalian Antara Dua Fungsi (Aturan 1)

Pada artikel sebelumnya, kita telah mengetahui hasil turunan suatu fungsi yang merupakan produk perkalian dari dua fungsi u dan v, yang dapat diungkapkan dengan

atau yang kita sebut sebagai aturan 1. Selain aturan tersebut, terdapat aturan lain yang cukup penting dalam menurunkan suatu fungsi. Apabila sebelumnya kita meninjau f(x)g(x), sekarang kita akan meninjau f(g(x)), atau suatu fungsi di dalam fungsi. Turunan dari fungsi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk limit sebagai

 (1)

Kemudian di dalam fungsi limit tersebut dapat dikalikan Δg(x)/Δg(x), sehingga kita peroleh

 (2)

Kita mengetahui bahwa Δg(x) dapat dituliskan sebagai

dan untuk Δx mendekati nol, Δg(x) juga akan secara otomatis mendekati nol, sehingga kita peroleh

 (3)

Aturan ini disebut sebagai aturan berantai. Aturan ini dapat digunakan untuk beberapa fungsi istimewa atau cukup rumit seperti fungsi sinus, logaritmik, atau eksponensial.

Sebagai contoh, kita akan meninjau persamaan berikut.

 (4)

Persamaan ini cukup rumit untuk diselesaikan tanpa menggunakan aturan rantai, karena kita perlu menguraikan pangkat tersebut sehingga persamaannya menjadi lebih panjang. Namun dengan aturan rantai, kita dapat langsung menurunkannya begitu saja. Kita akan mendefinisikan x² – 6x + 5 sebagai g(x)

sehingga Persamaan (4) dapat kita tuliskan menjadi

dan kita peroleh

 (5)

Persamaan (5) merupakan salah satu bagian yang kita perlukan untuk menurunkan Persamaan (4), berdasarkan Persamaan (3). Bagian lainnya adalah turunan g(x) terhadap x, yang dapat dengan mudah kita tentukan yaitu

sehingga kita peroleh turunan dari Persamaan (4) yaitu

Dengan demikian, penurunan menggunakan aturan berantai dapat mempermudah kita dalam menurunkan suatu persamaan yang rumit, dan dapat menghemat waktu. Contoh lainnya dapat berupa suatu fungsi-fungsi istimewa yang telah disebutkan sebelumnya, yang dapat kita terapkan apabila kita telah mengetahui turunan dari fungsi-fungsi tersebut, yang akan kita bahas pada artikel selanjutnya.

Next : Kalkulus : Turunan – Turunan Trigonometri (Fungsi Sin x)