Kalkulus : Turunan – Turunan dari Perkalian Antara Dua Fungsi (Aturan 1)

Prev : Kalkulus : Turunan – Diferensial, Turunan Ke-N dan Notasi Turunan

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah menemukan notasi untuk menyatakan turunan atau gradien suatu fungsi, yaitu

 (1)

Sekarang, kita akan meninjau apabila fungsi f(x) merupakan hasil perkalian dari kedua fungsi, katakan saja kedua fungsi tersebut adalah fungsi u(x) dan v(x). Dengan demikian, Persamaan (1) menjadi

 (2)

Berdasarkan aturan limit, berlaku bahwa

 (3)

Sehingga Persamaan (2) menjadi

 (4)

Kita akan fokus ke suku pertama terlebih dahulu. Kita juga dapat menggunakan aturan limit lain, yakni

 (5)

sehingga kita dapat mengeluarkan salah satu dari u(x + Δx) dan v(x + Δx). Untuk ini kita akan mengeluarkan u(x + Δx) dari dalam fungsi limit, sehingga

 (6)

Di dalam fungsi limit pada Persamaan 6 ini pada suku pertama, kita dapat menggunakan trik matematika, yaitu dengan menambahkan –v(x) + v(x) di bagian pembilang (ini dapat dilakukan karena –v(x) + v(x) = 0), sehingga

dan menggunakan kembali aturan limit pada Persamaan (3)

 (7)

Pada Persamaan (7) suku ketiga, alih alih langsung mengurangkan suku kedua dan ketiga, kita akan mengubah kembali u(x) menjadi dalam bentuk limit seperti sebelumnya, sehingga

Sehingga

 (8)

Persamaan (8) ini disebut sebagai aturan berantai, dan lebih ringkasi apabila dituliskan menjadi

 (9)

Aturan berantai ini digunakan ketika kita menjumpai suatu persamaan yang cukup rumit dan kita perlu menemukan turunan dari persamaan tersebut. Apabila dilihat dari aturan ini, pada dasarnya penurunan berantai ini dilakukan dengan menurunkan fungsi v yang kemudian dikalikan dengan fungsi u, lalu ditambah dengan hasil perkalian antara fungsi v dan turunan dari fungsi u. Untuk mengingatnya, umumnya lebih mudah menggunakan pola “turunkan tidak, tidak turunkan”, atau “turunkan tidak + tidak turunkan”.

Sebagai contoh, kita akan meninjau fungsi f(x) di bawah ini, yaitu

Di sini, kita dapat menganggap u dan v berturut-turut adalah

dan selanjutnya kita dapat secara langsung menentukan u’ dan v‘, yaitu

sehingga kita dapat langsung mengetahui turunan dari f(x) (f‘(x)), yaitu

 (10)

Perlu dicatat bahwa umumnya Persamaan (10) sudah cukup untuk menyatakan hasil turunan dari f(x), namun karena bentuk fungsinya cukup sederhana, maka umumnya hasil turunan tersebut disederhanakan. Aturan berantai ini akan lebih berguna untuk fungsi yang lebih rumit atau mengandung fungsi-fungsi istimewa, seperti f(x) = sinθ cosθ.

Next : Kalkulus : Turunan – Aturan Rantai (Aturan 2)