Prev : Kalkulus : Turunan – Penurunan Analitik
Kali ini kita akan kembali ke definisi turunan yang telah kita kaji pada beberapa bahasan sebelumnya. Apabila terdapat suatu fungsi f(x), maka kita dapat mengetahui gradien (m) dari fungsi tersebut, menggunakan persamaan
atau apabila kita hanya peduli di satu titik x saja,
(1)
dimana kita mengambil x = x1, dan Δx = x2 – x1, yang merupakan jarak antara x dengan nilai x lain yang sembarang. Dengan kata lain, apabila kita analisis secara numerik, nilai Δx ini akan berpengaruh pada ketelitian nilai gradien yang kita hitung. Semakin kecil nilai Δx, maka nilai m akan semakin mendekati nilai yang sebenarnya, sebagai mana yang telah kita peroleh sebelumnya. Persamaan (1) tentunya dapat dipersingkat menjadi
(2)
dengan catatan bahwa Δx tidak boleh bernilai nol, karena akan menghasilkan bilangan tak tentu. Namun Δx dapat merupakan bilangan yang sangat kecil, atau disebut sebagai bilangan infinitesimal, yang dimana bilangan tersebut mendekati nilai nol. Dalam kasus ini, seperti yang telah dibahas sebelumnya, Persamaan (1) akan menjadi fungsi limit, serta
atau
(3)
Yang kita lakukan disini pada dasarnya adalah mengganti simbol Δ dengan d, apabila Δx merupakan bilangan infinitesimal. Dengan kata lain, ketika Δx menjadi nilai yang sangat kecil, simbol Δ akan berubah menjadi d, sehingga Δx akan menjadi dx, begitu pula dengan Δf(x) yang menjadi df(x). Simbol d ini pada dasarnya adalah simbol diferensial, yang menandai ketergantungan satu variabel dengan variabel lain. Dalam kasus ini, variabel f(x) bergantung terhadap x, sehingga akan lebih lengkap apabila kita tuliskan sebagai df(x)/dx, alih-alih menuliskan f(x)/x.
Sampai titik ini, kita sudah dapat mulai bicara menggunakan konsep diferensial ini saja, tanpa harus membahas fungsi limit secara rinci. Apabila kita lihat dari Persamaan (3), dapat kita ketahui bahwa f‘(x) merupakan turunan dari f(x) terhadap variabel x. Artinya, informasi yang diberikan oleh fungsi f’(x) pada dasarnya adalah informasi tentang bagaimana variabel f(x) berubah terhadap variabel x, seperti halnya gradien pada Persamaan (2). Dari persamaan tersebut, apabila Δx bernilai semakin kecil, dan Δf(x) dibuat tetap, maka m akan semakin besar nilainya. Artinya, perubahan kecil dari x akan membuat nilai f(x) berubah drastis, yang ditandai oleh besarnya nilai m. Begitu juga dengan Persamaan (4), apabila f‘(x) bernilai sangat besar, maka artinya fungsi f(x) dapat bernilai sangat besar pula hanya dengan perubahan nilai x yang sangat kecil. Fungsi f‘(x) ini dengan demikian dapat kita definisikan sebagai laju perubahan fungsi f(x) terhadap x. Pernyataan ini tentu saja memberikan kita definisi baru tentang turunan, yakni merupakan laju perubahan satu variabel terhadap variabel lain. Definisi ini ekivalen dengan definisi gradien pada kurva.
Selanjutnya, bagaimana jika f‘(x) memiliki nilai yang berubah terhadap x? Kita dapat menghitung laju perubahan f‘(x) terhadap x (kita akan definisikan fungsi laju perubahan ini sebagai f”(x)) sama halnya seperti laju perubahan f(x) terhadap x, sehingga
Apabila digabungkan dengan Persamaan (3), maka
Notasi seperti ini akan lebih mudah dituliskan menjadi
Sehingga f”(x) ini sering disebut sebagai turunan kedua dari f(x). Dengan demikian, dengan cara yang sbama, turunan ke-N dari f(x) dapat kita nyatakan sebagai
Science and Games 