Solusi Persamaan Laplace : Satu Dimensi dan Syarat Batas

Pada artikel sebelumnya kita telah peroleh persamaan Laplace, yang dapat kita tuliskan sebagai

eldkz7

atau dapat kita tuliskan sebagai

eldkz7 (1).png

dalam koordian Cartesian tiga dimensi. Untuk satu dimensi, kita hanya perlu satu sumbu saja, dan kita akan pilih sumbu x seperti pada umumnya, sehingga

eldkz7 (2).png

dan selanjutnya kita hanya perlu menebak solusi untuk φ agar persamaan di atas dapat terpenuhi, serta dengan mudah kita dapat menebak bahwa solusinya tidak lain tidak bukan adalah

eldkz7 (3).png (1)

yang pada dasarnya merupakan persamaan garis lurus. Dengan kata lain, kita dapat menggunakan solusi ini untuk kasus konduktor apapun dalam satu dimensi, selama persamaan Laplace terpenuhi.

Misal, katakanlah bahwa kita memiliki suatu konduktor silinder tak bermuatan dengan panjang L dan luas permukaan yang sangat kecil (kita dapat mengasumsikan bahwa konduktor ini adalah konduktor dengan kawat yang sangat tipis sehingga dapat kita anggap sebagai suatu konduktor garis) terbentang dari titik pusat ke arah sumbu x positif, seperti pada gambar

Potensial di dalam dan di luar batang konduktor sepanjang sumbu x dapat kita nyatakan dengan Persamaan (1). Yang kita perlu lakukan selanjutnya hanyalah menentukan nilai konstanta a dan b pada persamaan tersebut.

Untuk menentukan kedua konstanta tersebut, kita akan menggunakan salah satu fitur yang dinamakan sebagai syarat batas. Penentuan syarat batas dalam hal ini pada dasarnya merupakan penentuan nilai φ dalam kondisi-kondisi tertentu yang lebih spesifik. Dengan demikian, kita perlu menentukan syarat batas terlebih dahulu sebelum menentukan konstanta a dan b.

Untuk menentukan syarat batas, kita harus menentukan titiknya terlebih dahulu yang akan kita gunakan sebagai kondisi, dan kemudian kita harus menentukan nilai φ pada titik tersebut. Misal, kita ingin pada titik x = 0 potensial nya adalah φ1, maka secara otomatis kita peroleh bahwa b = φ1. Dari sini kita sudah menentukan nilai konstanta b, sehingga selanjutnya kita perlu menentukan konstanta a. Untuk melakukannya, kita gunakan cara yang sama, yaitu dengan menentukan syarat batas yang lain. Misal, pada titik x = L kita ingin potensialnya adalah φ2, maka

eldkz7 (4)

eldkz7 (5)

sehingga Persamaan (1) menjadi

eldkz7 (6).png

Ini adalah persamaan umum untuk potensial di dalam konduktor satu dimensi yang kita ingin cari sebelumnya. Untuk kasus satu dimensi, kita pada dasarnya hanya perlu melakukan hal yang sama persis dalam menentukan persamaan garis lurus pada matematika, dengan menentukan syarat batas terlebih dahulu supaya kedua konstanta dapat kita tentukan dari syarat batas ini, dimana kita cukup menggunakan dua syarat batas saja, yaitu pada titik awal dan titik ujung. Namun, kita akan membutuhkan lebih dari dua syarat batas apabila kita meninjau kasus dalam dimensi yang lebih banyak, dan kita akan bahas kasus tersebut pada artikel selanjutnya untuk dua dimensi.