Komutator dan Kompatibilitas Observabel – Notasi Dirac – Mekanika Kuantum

Prev : Nilai Harap – Notasi Dirac – Mekanika Kuantum

Dalam mekanika kuantum, terdapat suatu notasi yang penting dalam proses pengukuran suatu sistem, yaitu komutator dan antikomutator. Secara umum, komutator dilambangkan dengan tanda “[ ]”. Dengan kata lain, apabila kita memiliki dua operator, misalkan A dan B, maka sifat komutatif antara kedua operator tersebut dapat kita lihat menggunakan persamaan

ooyan0

Pada dasarnya, prinsipnya sama seperti sifat komutasi biasa. Misal, apabila A = 3 dan B = 2, apabila kita terapkan notasi di atas maka

ooyan0 (3).png

Karena perkalian antara dua angka bersifat komutatif, maka 3*2=2*3, sehingga kita peroleh

ooyan0 (4).png

Artinya, apabila kedua operator saling komut, maka berlaku

ooyan0 (5).png

Atau

ooyan0 (8).png

dimana ψ merupakan suatu fungsi yang dikerjakan kedua operator. Ini sah-sah saja, karena bilangan real atau imajiner apapun yang dikalikan nol akan selalu menghasilkan nilai nol.

Dengan kata lain, apabila A dan B tidak komut, maka hasil operasinya akan memiliki nilai yang tidak nol. Apabila A dan B merupakan nilai, maka tentu saja hasilnya akan selalu nol. Namun apabila salah satu atau keduanya adalah operator, maka hasilnya belum tentu nol. Sebagai contoh, kita akan tinjau operator x dan berikut ini.

ooyan0 (6).png

Kita akan misalkan bahwa p merupakan suatu operator, dimana

ooyan0 (7).png

untuk mengetahui apakah kedua operator saling komut atau tidak, kita akan menggunakan suatu fungsi ψ yang dapat diekspresikan dengan

ooyan0 (9)

Kita akan menggunakan fungsi ini karena turunan dari fungsi ini terhadap x akan menghasilkan suatu nilai yang dikalikan dengan fungsi itu sendiri. Substitusikan ke persamaan komutator di atas akan kita peroleh

ooyan0 (10)

ooyan0 (11)

ooyan0 (12)

Seperti yang telah kita lihat, hubungan antara kedua operator tidak komut, karena tidak menghasilkan nilai nol. Ini adalah salah satu contoh bahwa perkalian antara kedua operator tidak selamanya komut, tidak seperti hubungan antara kedua bilangan real.

Untuk mengetahui makna dari operasi komutasi di atas, kita akan memulai dari konsep Hermitian, yang merupakan bentuk matematis dari sistem yang sesuai. Kita akan memisalkan suatu operator A dan B yang bekerja pada suatu ket |ab>. Kita akan peroleh

ooyan0 (13).png

Perlu diingat bahwa operator A dan B harus merupakan operator Hermitian agar kita dapat memperoleh ket yang sama, sehingga hasil seperti di atas dapat diperoleh. Selanjutnya, apabila kita tukar urutannya antara A dan B, maka

ooyan0 (14).png

ingat juga bahwa a dan b adalah suatu nilai, sehingga mereka akan saling komut. Dari kedua perhitungan di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa

ooyan0 (15)

ooyan0 (16)

ooyan0 (17)

karena |ab> adalah suatu ket atau vektor yang tidak nol, maka [A, B] lah yang harus nol, atau operator A dan B harus komut agar hubungan ini terpenuhi. Dengan kata lain :

Observabel A dan B adalah observabel yang sesuai (kompatibel) apabila kedua operator saling komut ([AB] = 0). Apabila tidak saling komut ([AB] ≠ 0), maka kedua observabel tidak sesuai (inkompatibel).

Apabila kita ambil contoh di atas, observabel p dan x bukanlah observabel yang sesuai. Ini merupakan prinsip dari ketidakpastian Heisenberg, yang belum akan kita bahas saat ini.

Next : Operator Uniter dan Proyeksi – Notasi Dirac – Mekanika Kuantum

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s