Prev : Nilai Harap – Notasi Dirac – Mekanika Kuantum
Dalam mekanika kuantum, terdapat suatu notasi yang penting dalam proses pengukuran suatu sistem, yaitu komutator dan antikomutator. Secara umum, komutator dilambangkan dengan tanda “[ ]”. Dengan kata lain, apabila kita memiliki dua operator, misalkan A dan B, maka sifat komutatif antara kedua operator tersebut dapat kita lihat menggunakan persamaan
Pada dasarnya, prinsipnya sama seperti sifat komutasi biasa. Misal, apabila A = 3 dan B = 2, apabila kita terapkan notasi di atas maka
Karena perkalian antara dua angka bersifat komutatif, maka 3*2=2*3, sehingga kita peroleh
Artinya, apabila kedua operator saling komut, maka berlaku
Atau
dimana ψ merupakan suatu fungsi yang dikerjakan kedua operator. Ini sah-sah saja, karena bilangan real atau imajiner apapun yang dikalikan nol akan selalu menghasilkan nilai nol.
Dengan kata lain, apabila A dan B tidak komut, maka hasil operasinya akan memiliki nilai yang tidak nol. Apabila A dan B merupakan nilai, maka tentu saja hasilnya akan selalu nol. Namun apabila salah satu atau keduanya adalah operator, maka hasilnya belum tentu nol. Sebagai contoh, kita akan tinjau operator x dan p berikut ini.
Kita akan misalkan bahwa p merupakan suatu operator, dimana
untuk mengetahui apakah kedua operator saling komut atau tidak, kita akan menggunakan suatu fungsi ψ yang dapat diekspresikan dengan
Kita akan menggunakan fungsi ini karena turunan dari fungsi ini terhadap x akan menghasilkan suatu nilai yang dikalikan dengan fungsi itu sendiri. Substitusikan ke persamaan komutator di atas akan kita peroleh
Seperti yang telah kita lihat, hubungan antara kedua operator tidak komut, karena tidak menghasilkan nilai nol. Ini adalah salah satu contoh bahwa perkalian antara kedua operator tidak selamanya komut, tidak seperti hubungan antara kedua bilangan real.
Untuk mengetahui makna dari operasi komutasi di atas, kita akan memulai dari konsep Hermitian, yang merupakan bentuk matematis dari sistem yang sesuai. Kita akan memisalkan suatu operator A dan B yang bekerja pada suatu ket |ab>. Kita akan peroleh
Perlu diingat bahwa operator A dan B harus merupakan operator Hermitian agar kita dapat memperoleh ket yang sama, sehingga hasil seperti di atas dapat diperoleh. Selanjutnya, apabila kita tukar urutannya antara A dan B, maka
ingat juga bahwa a dan b adalah suatu nilai, sehingga mereka akan saling komut. Dari kedua perhitungan di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa
karena |ab> adalah suatu ket atau vektor yang tidak nol, maka [A, B] lah yang harus nol, atau operator A dan B harus komut agar hubungan ini terpenuhi. Dengan kata lain :
Observabel A dan B adalah observabel yang sesuai (kompatibel) apabila kedua operator saling komut ([A, B] = 0). Apabila tidak saling komut ([A, B] ≠ 0), maka kedua observabel tidak sesuai (inkompatibel).
Apabila kita ambil contoh di atas, observabel p dan x bukanlah observabel yang sesuai. Ini merupakan prinsip dari ketidakpastian Heisenberg, yang belum akan kita bahas saat ini.
Next : Operator Uniter dan Proyeksi – Notasi Dirac – Mekanika Kuantum
Science and Games 