Kalkulus : Turunan – Penurunan Analitik

Prev : Kalkulus : Turunan – Penurunan Numerik

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari cara menentukan gradien suatu kurva di titik tertentu menggunakan metode numerik. Fungsi yang kita gunakan adalah fungsi kuadrat f(x) = x², dan kita telah menentukan gradien fungsi tersebut ketika x = 1Persamaan gradien yang kita gunakan adalah

elqd5b.png

dimana a adalah suatu titik sembarang yang nilainya “bergerak” mendekati b. Ketika ba, persamaan di atas akan menghasilkan nilai tak tentu 0/0, sehingga kita nyatakan persamaan di atas dalam bentuk limit

elqd5b (1).png

Sekarang, katakanlah bahwa bx, sehingga kita tuliskan

elqd5b (2).png

sehingga

elqd5b (3).png

Disini kita gunakan teknik penyelesaian persamaan limit. Kita ketahui bahwa a² – b² = (a + b)(a – b), sehingga

elqd5b (4).png

Terakhir, kita substitusikan ax, sehingga kita peroleh

elqd5b (5).png

Alih-alih memperoleh angka, hasil yang kita peroleh merupakan suatu fungsi lain, yakni 2x. Fungsi f‘(x) ini disebut sebagai turunan dari fungsi f(x). Artinya, apabila kita menggunakan contoh pada artikel sebelumnya, yaitu ketika x = 1, maka apabila kita substitusikan x dengan nilai tersebut akan kita peroleh nilai sebesar 2. Nilai 2 ini adalah gradien dari fungsi x² ketika x = 1, berdasarkan perhitungan yang kita lakukan secara analitis. Hasil yang kita peroleh ini konsisten dengan hasil yang kita peroleh menggunakan cara numerik, dengan dasar bahwa hasil yang kita peroleh mendekati angka 2. Hasil yang kita peroleh secara analitis ini biasa disebut penyelesaian pasti (exact solution), sedangkan hasil yang diperoleh secara numerik adalah penyelesaian pendekatan (approximate solution).

Info tambahan : Dengan penyelesaian pasti, kita dapat memperoleh ekspresi umum dalam bentuk persamaan, sehingga apabila kita peroleh penyelesaian pasti ini, kita secara otomatis dapat memperoleh hasil untuk yang berbeda. Misal, setelah kita ketahui f‘(x) = 2x, maka kita juga dapat menentukan secara pasti gradien fungsi x² ketika x = 2, dengan cara cukup mensubstitusikan x dengan 2 pada fungsi 2x, sehingga kita peroleh nilai 4, yang merupakan hasil gradien yang ingin kita tentukan. Namun, penyelesaian secara numerik juga penting untuk diketahui walaupun metode ini tidak memberikan bentuk umum seperti 2x secara langsung, karena ini berguna ketika kita ingin merancang suatu sistem yang melibatkan turunan dalam komputer, dimana komputer hanya dapat mengenal bilangan 0 dan 1, dan tidak dapat melakukan analisis seperti ini (komputer yang belum terprogram sama sekali hanya mengetahui penjumlahan dan pengurangan antara angka, dan tidak dapat mengambil keputusan seperti halnya kita memutuskan untuk mengganti x² – a² dengan (xa)(x – a), kecuali kita telah memprogramnya dengan hard code, yang pada dasarnya merupakan praktek yang kurang sempurna, karena hanya dapat digunakan untuk situasi tertentu).

Selanjutnya, kita akan mencoba untuk memperoleh turunan dari fungsi umum polinomial (suku banyak), yakni

elqd5b (6).png

Apabila kita peroleh turunan dari fungsi di atas, maka kita dapat mengetahui juga turunan dari fungsi suku banyak lainnya, dimana n bernilai lebih dari dua. Menggunakan bentuk limit sebelumnya, maka kita peroleh

elqd5b (7).png

salah satu trik yang dapat kita gunakan adalah dengan langsung membagikan nilai xnadengan x – a, atau dengan kata lain, kita akan memfaktorkan fungsi xna, sehingga kita peroleh

Screenshot_20180807-124258.jpg

elqd5b (9)

elqd5b (12).png

mensubstitusikan ax, maka

elqd5b (14).png

Perhatikan bahwa bentuk penjumlahan di atas adalah penjumlahan nilai xn-1 sebanyak n kali, sehingga

elqd5b (15).png

Ini adalah bentuk umum dari turunan suatu fungsi polinomial. Dengan demikian, apabila kita memiliki fungsi x3, maka secara otomatis kita tahu bahwa turunannya adalah 3x2, dan 4x10 adalah 40x9. Secara umum, pada dasarnya kita hanya menyalin dan “memindahkan” bilangan pangkat ke suatu konstanta yang sebaris dengan x, dan nilai pangkat yang asli dikurangi dengan 1, sehingga kita peroleh fungsi turunannya.

Next : Kalkulus : Turunan – Diferensial, Turunan Ke-N dan Notasi Turunan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s