Kalkulus : Turunan – Penurunan Analitik

Prev : Kalkulus : Turunan – Penurunan Numerik

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari cara menentukan gradien suatu kurva di titik tertentu menggunakan metode numerik. Fungsi yang kita gunakan adalah fungsi kuadrat f(x) = x², dan kita telah menentukan gradien fungsi tersebut ketika x = 1. Persamaan gradien yang kita gunakan adalah

dimana a adalah suatu titik sembarang yang nilainya “bergerak” mendekati b. Ketika b = a, persamaan di atas akan menghasilkan nilai tak tentu 0/0, sehingga kita nyatakan persamaan di atas dalam bentuk limit

Sekarang, katakanlah bahwa b = x, sehingga kita tuliskan

sehingga

Disini kita gunakan teknik penyelesaian persamaan limit. Kita ketahui bahwa a² – b² = (a + b)(a – b), sehingga

Terakhir, kita substitusikan a = x, sehingga kita peroleh

Alih-alih memperoleh angka, hasil yang kita peroleh merupakan suatu fungsi lain, yakni 2x. Fungsi f‘(x) ini disebut sebagai turunan dari fungsi f(x). Artinya, apabila kita menggunakan contoh pada artikel sebelumnya, yaitu ketika x = 1, maka apabila kita substitusikan x dengan nilai tersebut akan kita peroleh nilai sebesar 2. Nilai 2 ini adalah gradien dari fungsi x² ketika x = 1, berdasarkan perhitungan yang kita lakukan secara analitis. Hasil yang kita peroleh ini konsisten dengan hasil yang kita peroleh menggunakan cara numerik, dengan dasar bahwa hasil yang kita peroleh mendekati angka 2. Hasil yang kita peroleh secara analitis ini biasa disebut penyelesaian pasti (exact solution), sedangkan hasil yang diperoleh secara numerik adalah penyelesaian pendekatan (approximate solution).

Info tambahan : Dengan penyelesaian pasti, kita dapat memperoleh ekspresi umum dalam bentuk persamaan, sehingga apabila kita peroleh penyelesaian pasti ini, kita secara otomatis dapat memperoleh hasil untuk yang berbeda. Misal, setelah kita ketahui f‘(x) = 2x, maka kita juga dapat menentukan secara pasti gradien fungsi x² ketika x = 2, dengan cara cukup mensubstitusikan x dengan 2 pada fungsi 2x, sehingga kita peroleh nilai 4, yang merupakan hasil gradien yang ingin kita tentukan. Namun, penyelesaian secara numerik juga penting untuk diketahui walaupun metode ini tidak memberikan bentuk umum seperti 2x secara langsung, karena ini berguna ketika kita ingin merancang suatu sistem yang melibatkan turunan dalam komputer, dimana komputer hanya dapat mengenal bilangan 0 dan 1, dan tidak dapat melakukan analisis seperti ini (komputer yang belum terprogram sama sekali hanya mengetahui penjumlahan dan pengurangan antara angka, dan tidak dapat mengambil keputusan seperti halnya kita memutuskan untuk mengganti x² – a² dengan (x + a)(x – a), kecuali kita telah memprogramnya dengan hard code, yang pada dasarnya merupakan praktek yang kurang sempurna, karena hanya dapat digunakan untuk situasi tertentu).

Selanjutnya, kita akan mencoba untuk memperoleh turunan dari fungsi umum polinomial (suku banyak), yakni

Apabila kita peroleh turunan dari fungsi di atas, maka kita dapat mengetahui juga turunan dari fungsi suku banyak lainnya, dimana n bernilai lebih dari dua. Menggunakan bentuk limit sebelumnya, maka kita peroleh

salah satu trik yang dapat kita gunakan adalah dengan langsung membagikan nilai xn – an dengan x – a, atau dengan kata lain, kita akan memfaktorkan fungsi xn – an , sehingga kita peroleh

mensubstitusikan a = x, maka

Perhatikan bahwa bentuk penjumlahan di atas adalah penjumlahan nilai xn-1 sebanyak n kali, sehingga

Ini adalah bentuk umum dari turunan suatu fungsi polinomial. Dengan demikian, apabila kita memiliki fungsi x3, maka secara otomatis kita tahu bahwa turunannya adalah 3x2, dan 4x10 adalah 40x9. Secara umum, pada dasarnya kita hanya menyalin dan “memindahkan” bilangan pangkat ke suatu konstanta yang sebaris dengan x, dan nilai pangkat yang asli dikurangi dengan 1, sehingga kita peroleh fungsi turunannya.

Next : Kalkulus : Turunan – Diferensial, Turunan Ke-N dan Notasi Turunan