Prev : Usaha dan Energi
Seperti yang telah dibahas dalam artikel sebelumnya, hubungan antara usaha dengan gaya dan jarak tempuh dapat dituliskan dengan persamaan berikut
(1)
Kedua vektor di atas pada dasarnya dapat didefinisikan dalam tiga dimensi sebagai berikut.
Apabila kita substitusikan definisi ini ke Persamaan (1), maka
(2)
Kita akan gunakan persamaan lengkap ini nanti. Sekarang kita akan meninjau dua kasus, yaitu partikel yang dilempar vertikal ke atas dan partikel yang bergerak sepanjang sumbu x dengan gaya F. Kita akan mempelajari usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi pada kasus pertama, dan gaya penggerak F pada kasus kedua.
Pada kasus pertama, yaitu dimana partikel dilempar vertikal ke atas, kita juga meninjau dua sub kasus, yaitu :
- Partikel dilempar ke atas hingga ketinggian h.
- Partikel dilempar ke atas hingga melebihi ketinggian h, kemudian mencapai ketinggian maksimum H, dan kemudian kembali ke h.
Kita akan menggunakan tanda positif untuk merepresentasikan arah ke atas, dan negatif ke arah bawah. Dengan demikian, gaya yang bekerja adalah F = –mg. Karena kita hanya meninjau arah vertikal, maka kita hanya perlu menggunakan koordinat sumbu z saja, sehingga
Pada sub kasus pertama, kita hanya meninjau kondisi ketika partikel telah mencapai ketinggian h. Artinya, batas bawah integral adalah nol sebagai titik awal, dan batas atas integral adalah h sebagai titik akhir. Karena kita hanya tertarik menentukan usaha yang dilakukan gravitasi saja, maka kita tidak perlu memperhitungkan gaya lainnya, sehingga kita peroleh usahanya yaitu
Kemudian untuk sub kasus kedua, kita perlu mengintegralkan dua kondisi, yaitu kondisi dimana partikel mencapai ketinggian maksimum H, dan kondisi dimana partikel mencapai ketinggian h dari titik awal H. Setelah itu, kita jumlahkan kedua hasil tadi untuk memperoleh usaha totalnya. Sehingga
Perhatikan bahwa pada kondisi ketika partikel turun dari H, arah gaya gravitasi tetap mengarah ke bawah, sehingga tanda negatif tetap ada. Menghitung persamaan ini akan kita peroleh
Ternyata kita memperoleh hasil yang sama seperti sub kasus pertama, dimana usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi tetap memiliki nilai sebesar –mgh, walaupun jalan yang ditempuhnya berbeda.
Sekarang kita tinjau kasus kedua, yaitu untuk partikel yang bergerak dengan gaya konstan F sepanjang sumbu x. Sama seperti sebelumnya, karena kita hanya meninjau sumbu x saja, maka kita gunakan persamaan
Sama seperti kasus pertama, kita juga akan meninjau dua sub kasus sebagai berikut.
- Partikel bergerak ke arah kanan hingga mencapai titik l.
- Partikel bergerak ke arah kanan hingga melewati titik l, kemudian berhenti pada titik L, dan kembali lagi hingga titik l.
Untuk kasus ini, kita akan merepresentasikan arah kanan dengan tanda positif, dan arah kiri tanda negatif. Dan sama halnya dengan kasus pertama, kita hanya tertarik meninjau usaha yang dilakukan oleh gaya F.
Pada sub kasus pertama, persamaannya dapat kita rangkai seperti pada kasus pertama sub kasus pertama karena bentuknya sangat identik. Sehingga
Namun pada sub kasus kedua, kita menuliskannya sebagai berikut
Perhatikan bahwa pada integral kedua memiliki tanda negatif, karena partikel bergerak ke arah kiri, sedangkan pada integral pertama bertanda positif karena bergerak ke arah kanan. Berbeda dengan gaya gravitasi pada kasus pertama sebelumnya, dimana arah gayanya selalu mengarah ke satu arah apapun kondisinya. Apabila kita hitung, maka usaha yang kita peroleh pada sub kasus kedua ini adalah
Ternyata usaha pada kedua sub kasus untuk kasus kedua memiliki nilai yang berbeda, dimana pada sub kasus pertama usaha yang dilakukan adalah Fl, sedangkan pada sub kasus kedua adalah 2FL – Fl. Kesimpulan ini tentunya berbeda dengan kesimpulan yang kita peroleh pada kasus pertama, dimana kedua sub kasus menghasilkan nilai usaha yang sama, yaitu –mgh.
Dari kedua kasus di atas, maka kita bisa membedakan atau mengklasifikasikan kembali jenis gaya, yaitu gaya konservatif dan gaya non-konservatif. Gaya konservatif adalah gaya yang usahanya hanya dipengaruhi oleh titik awal dan titik akhirnya saja, seperti gaya gravitasi pada kasus pertama tadi. Sedangkan gaya non-konservatif adalah gaya yang usahanya dipengaruhi oleh bentuk lintasannya, seperti pada kasus kedua. Semakin panjang lintasan yang diambil, usaha yang dilakukan oleh gaya non-konservatif akan semakin besar walaupun jarak antara titik akhir dan titik awal sangat dekat, sedangkan usaha yang dilakukan oleh gaya konservatif akan tetap sama nilainya, sepanjang apapun lintasan yang ditempuhnya.
Dari kesimpulan ini, secara otomatis dapat dikatakan bahwa apabila titik awal dan titik akhir dari usaha adalah sama, maka pada gaya konservatif usahanya harus nol, sedangkan pada gaya non-konservatif usahanya tidak nol. Ini adalah salah satu ciri dari gaya konservatif, dimana secara matematis harus memenuhi
Bentuk integral dengan lingkaran di tengahnya disebut sebagai integral tertutup, artinya memiliki nilai bawah dan nilai atas yang sama. Menggunakan teori Stokes, kita juga akan memperoleh ciri ketiga dari gaya konservatif, yaitu
Artinya adalah bahwa curl dari F adalah 0. Curl ini melambangkan rotasi, sehingga artinya adalah arah gaya konservatif bukan merupakan bentuk rotasi.
Sekarang, kita akan kembali ke Persamaan (2).
Kita ketahui bahwa kita peroleh hasil ini dari produk dalam antara dua vektor F dan ds, yang merupakan bentuk skalar. Apabila F adalah gaya konservatif, maka kita dapat menggunakan analogi dari gaya gravitasi, yang memiliki tanda negatif. Dengan demikian, kita dapat memberikan simbol V pada skalar ini, yang merupakan negasi dari W, yaitu
Tentu saja kita bisa mengubah V ini menjadi vektor F, dengan mengoperasikannya dengan operator gradien ∇, sehingga
Ini adalah ciri keempat dari gaya konservatif, dimana gayanya harus dapat dinyatakan dalam bentuk skalar yang dinamakan sebagai energi potensial.
Next : Daya
Science and Games 