Vektor – Dimensi Ketiga

Prev : Vektor – Penjumlahan Vektor

Dalam notasi vektor, kita mengetahui beberapa simbol seperti i dan yang kita kenal sebagai vektor satuan.

vektor9.png

Apabila kita lakukan operasi perkalian antara i dengan j, tentunya kita akan mendapatkan hasil salah satunya yaitu luas suatu wilayah, yang persamaan umumnya dikenal sebagai panjang kali lebar (p × l). Sebagai contoh, tinjau kertas amplop berikut.

20180716_120724

Disini kita menggambar dua bidang vektor i dan j yang arahnya saling tegak lurus di bagian kanan dan kiri amplop. Kita akan menggunakan titik pusat (0, 0) di bagian kiri bawah amplop bagian kiri yang ditandai oleh tanda positif, sehingga otomatis vektor j selalu ke arah atas sedangkan vektor i ke arah kanan. Kita gambar sedemikian rupa sehingga apabila kita lipat di bagian tengah akan membentuk gambar pada salah satu penampang amplop sebagai

20180716_120813

Gambar 1. Penampang bagian positif amplop

dan penampang lainnya sebagai

20180716_120843

Gambar 2. Penampang bagian negatif amplop

Tujuan kita adalah untuk tetap menjaga supaya koordinat i dan j tetap berada di tempat yang sama apabila kita balik amplop yang telah kita lipat tadi, sehingga pada permukaan yang ditandai tanda negatif pada dasarnya hanyalah bagian bawahnya, artinya kita hanya melihat amplop dari bawah tanpa mengubah letak koordinat i dan j. Tentu saja setelah kita lipat kita akan mengasumsikan amplop itu menjadi kertas baru dimana pada salah satu permukaan amplop terdapat tanda positif sedangkan yang lainnya terdapat tanda negatif

ezgif-1-cd7189f728

Sekarang, katakanlah bahwa kita ingin mengetahui luas lipatan amplop pada Gambar 1 yang bertanda positif. Apabila pada lipatan amplop tersebut memiliki panjang sebesar ai dan lebar sebesar bj, maka apabila kita terapkan perkalian p × l, maka kita peroleh luas L sebagai

CodeCogsEqn.gif

Tentu saja ini belum selesai. Dari hasil di atas kita peroleh hasil skalar ab, yang pada dasarnya merupakan persamaan luas persegi panjang. Namun, apakah sebenarnya nilai ij? Untuk menjawabnya, kita akan meninjau terlebih dahulu kondisi lain, yaitu luas penampang amplop di bagian lainnya, yaitu yang bertanda negatif seperti pada Gambar 2. Pada kondisi ini, tentu saja kondisinya terbalik, yaitu dimana panjang persegi panjang adalah aj dan lebarnya adalah bi. Dengan cara yang sama, kita akan peroleh luas penampang bagian ini yaitu

CodeCogsEqn (1).gif

Apabila kita bandingkan kedua hasil ini, tentu saja kita akan peroleh hasil yang identik, kecuali urutan perkalian antara vektor i dengan vektor j, dimana pada luas penampang positif vektor i dikalikan dengan vektor j, sedangkan yang lainnya adalah vektor j dikalikan dengan vektor i. Dalam aljabar biasa, terdapat sifat komutatif, dimana abba, sehingga seharusnya ij ji, dan ini menandakan bahwa kedua kasus tidak memiliki perbedaan sama sekali. Namun, apabila kita lihat kedua kasus di atas, tentu saja keduanya harus dibedakan, karena pada kasus pertama kita meninjau penampang bagian positif dan yang kedua kita meninjau bagian negatif. Dari fakta ini, kita dapat menyimpulkan bahwa luasan yang kita hitung ini pada dasarnya memiliki arah, atau dapat kita katakan sebagai arah penampang, sehingga luasan ini kita nyatakan sebagai vektor L. Karena luasan adalah vektor, tentunya ij dan ji harus merupakan vektor juga, dimana vektor tersebut memiliki arah yang tegak lurus dengan vektor i dan j. Perlu diingat bahwa arah penampang selalu memiliki arah yang tegak lurus terhadap vektor panjang dan lebar amplop, sehingga ij dan ji pada dasarnya adalah vektor penampang dari bidang (amplop), dimana ij menandakan arah penampang amplop bertanda positif, dan ji menandakan arah penampang amplop bertanda negatif. Dari sini kita peroleh bahwa ternyata ij ji, dan sifat komutatif pada aljabar tidak berlaku disini. Kita akan berikan simbol vektor penampang bagian positif ini dengan vektor k, sehingga ijk, dan secara otomatis ji = –ij =k. Secara keseluruhan, ini adalah bagaimana kita melihat penampang amplop.

vektor10.png

Seperti yang telah kita lihat, vektor k adalah vektor yang menuju ke arah mata kita. Vektor ini adalah vektor satuan untuk dimensi ketiga, dimana sebelumnya kita hanya mengenal dua dimensi (yaitu i dan j). Atau dalam gambar ini, vektor i mengarah ke kanan atau ke kiri, vektor j ke arah atas atau bawah, dan vektor k ke arah depan atau belakang, seperti halnya kita bergerak dalam kehidupan sehari-hari.

Selain ijk, apabila kita lihat dari gambar di atas, tentu dapat kita simpulkan bahwa jk i, dan ki j. Penentuan positif dan negatif dari vektor ini didasari oleh aturan tangan kanan, atau rotasi sekrup

507px-Right_hand_rule_cross_product.svg

Sumber : wikipedia.org

Konsep dimana ijk ini adalah konsep yang awalnya digagas oleh seorang matematikawan berkebangsaan Irlandia dengan nama William Rowan Hamilton dalam gagasannya yang dikenal sebagai sistem quaternion, yaitu sistem yang berkaitan dengan perluasan bilangan imajiner.

Secara keseluruhan, vektor luas penampang yang telah kita hitung pada Gambar 1 adalah

CodeCogsEqn (2)

sedangkan pada Gambar 2 adalah

CodeCogsEqn (3)

dan tanda negatif menunjukkan arah penampang amplop.

Next : Vektor – Perkalian Vektor : Produk Luar (Cross Product)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s