Prev : Kalkulus : Turunan – Gradien (Pendahuluan)
Berikut adalah kurva yang telah kita buat sebelumnya, dengan fungsi f(x) = x².
Kita telah mengetahui bahwa gradien pada kurva di atas berbeda-beda seperti yang disebutkan pada artikel sebelumnya. Ini menandakan bahwa gradien pada kurva ini berubah terhadap nilai x, sehingga kita tidak lagi menggunakan simbol m sebagai gradien, melainkan suatu fungsi, kita akan sebut ini sebagai fungsi gradien yang dituliskan sebagai f‘(x).
Pertama, kita akan menetapkan terlebih dahulu yang kita maksud sebagai gradien dalam kurva yang bukan merupakan garis lurus ini. Pada fungsi garis lurus, yang sebagaimana kita tahu, memiliki gradien yang tetap dimanapun titiknya. Sehingga apabila kita menambahkan suatu garis lurus pada grafik di atas, dimana garis tersebut menyinggung kurva x² di titik tertentu sebagai berikut.
Garis lurus yang kita gambar ini adalah garis lurus yang menyinggung kurva ketika x = 1. Pada titik tersebut, kedua garis saling paralel, sehingga gradien kurva x² di titik x = 1 bernilai sama seperti gradien garis singgung yang kita buat tadi. Ini adalah makna gradien yang kita maksud pada kurva yang bukan merupakan garis lurus.
Selanjutnya, kita harus ingat bahwa untuk menentukan gradien suatu fungsi, kita harus meninjau setidaknya dua titik pada kurva. Kita tidak akan menggunakan garis singgung di atas untuk perhitungan, namun hanya sebagai acuan saja bahwa gradien garis singgung tersebut adalah sama dengan gradien kurva pada titik dimana titik tersebut disinggung. Kita akan mencoba dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan untuk menentukan gradien pada garis lurus dimana titik yang akan kita gunakan adalah titik sembarang yang berada di sekitar titik yang akan kita ketahui gradiennya. Katakanlah kita akan menggunakan batas bawah f(0) = 0 dan batas atas f(1) = 1 untuk menentukan gradien ketika x = 1. Maka gradien kurva pada interval ini akan kita peroleh yaitu
Tentu saja hasil ini kurang akurat, karena apabila kita gambarkan garis lurus dengan gradien sebesar 1, maka grafik yang akan kita peroleh menjadi
dimana garis lurus bergradien 1 memotong garis lurus acuan yang telah kita buat sebelumnya, sehingga nilai 1 bukanlah nilai yang kita cari. Karena supaya bergradien sama, kedua garis tidak boleh memotong sama sekali, atau dengan kata lain kedua garis tersebut harus paralel satu sama lain.
Kita membutuhkan garis baru yang lebih besar gradiennya, atau garis yang lebih miring sehingga dapat lebih paralel dengan garis acuan. Sekarang, kita akan coba mengganti batas bawahnya dengan nilai yang lebih dekat dari 1, misal, x = 0.5 yang letaknya tepat di antara x = 0 dan x = 1. Dari hasil perhitungan akan kita peroleh
dan kita temukan bahwa nilai gradiennya semakin tinggi, sehingga kemiringan garisnya akan lebih curam.
Seperti yang telah kita lihat, garis baru yang kita buat lebih paralel dari yang sebelumnya. Kita akan mengulangi proses ini untuk nilai-nilai yang lebih dekat dari 1 seperti 0.75, 0.875, dst. sehingga kita dapat memperoleh tabel seperti berikut.
Pada tabel diatas, kita menginterpretasikan model matematika untuk kasus ini sebagai
yang sama dengan persamaan yang kita gunakan selama ini. Seperti yang telah kita lihat, nilai gradien (f‘(b)) yang telah kita hitung ternyata mendekati nilai 2, begitu kita mendekati nilai x ke angka 1. Apabila menemukan kata “mendekati”, artinya kita sudah berbicara tentang limit.
Namun, kenapa kita tidak menggunakan nilai a = 1 saja? Apabila kita menggunakan nilai tersebut, maka yang terjadi adalah
yang menghasilkan nilai tak tentu. Dari hasil ini, kita memang benar-benar harus bermain dengan limit, karena kita hanya bisa mendekati nilai a ke arah nilai b, dan kita tidak bisa menggunakan nilai a = b. Kita akan membahas ini pada artikel selanjutnya, yaitu penyelesaian kasus ini secara analitis.
Science and Games 