Prev : Kalkulus : Limit – Pendahuluan
Sebelumnya kita telah membahas salah satu konsep yang paling mendasar dalam kalkulus, yaitu limit. Seperti yang kita telah ketahui, terdapat beberapa bentuk-bentuk tak tentu, salah satunya adalah hasil 0/0.
Sekarang kita akan menerapkan konsep turunan ini ke dalam grafik. Apabila kita memiliki grafik yang terdapat kurva fungsi garis lurus seperti berikut
maka kita dapat dengan mudah mengetahui gradien atau kemiringannya (selengkapnya tentang gradien di sini), yaitu dengan menggunakan persamaan
atau bisa kita tulis
Karakter Δ (delta kapital) menandakan selisih dari kedua nilai, dimana nilai akhir dikurangi nilai awal. Sekarang, bagaimana jika kurva tersebut bukan merupakan garis lurus, seperti fungsi f(x) = x² berikut?
Ini adalah kurva yang akan kita peroleh apabila kita juga menggunakan bilangan-bilangan desimal kedalam perhitungan. Apabila kita bandingkan dengan kurva sebelumnya, kita akan menemukan bahwa gradien pada fungsi garis lurus akan tetap sama dimanapun titiknya. Misal, pada grafik pertama, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, dan seterusnya, sehingga gradien diantara x = 1 hingga x = 2 akan sama dengan pada x = 2 dan x = 3, dan begitu juga dengan yang lainnya, sehingga kita peroleh gradiennya akan selalu sama berapapun nilai x nya. Namun pada grafik kedua dengan fungsi f(x) = x², gradiennya tidak demikian. Kita bisa lihat bahwa f(1) = 1 dan f(2) = 4, sehingga gradien pada interval x = 1 dan x = 2 bisa kita katakan sebagai 3. Namun, pada interval x = 2 hingga x = 3 hasilnya bukan lagi 3, karena f(2) = 4 dan f(3) = 9, sehingga kita peroleh gradien pada interval ini adalah 5. Ini artinya pada fungsi yang bukan merupakan garis lurus, gradiennya tidak lagi konstan, tapi bervariasi.
Dengan demikian, berapakah nilai gradien atau kemiringan pada titik sembarang x? Perlu diingat bahwa kita mungkin saja bisa menggunakan persamaan seperti ini
dan mensubstitusikan f(x) dengan x² sehingga kita peroleh bahwa m = x, yang mengimplikasikan bahwa gradien kurva x² di nilai sembarang x adalah nilai itu sendiri, namun hasil ini tidaklah akurat. Ini disebabkan oleh alasan bahwa bagaimanapun juga kita harus memperhitungkan di titik x yang lain, yang akan kita bahas di artikel selanjutnya. Kita kedepannya akan membahas penyelesaian kasus ini baik secara numerik maupun analitik.
Science and Games 