Distribusi/Statistik Bose-Einstein (Model Debye : Temperatur Debye dan Kapasitas Kalor)

Prev : Distribusi/Statistik Bose-Einstein (Model Debye: Frekuensi Debye)

Untuk mengetahui kapasitas kalor pada model Debye, kita perlu menentukan energi total sistem terlebih dahulu. Kita dapat menentukannya menggunakan fungsi berikut.

Oleh karena itu, kita bisa memulai dari fungsi partisi untuk menentukan jumlah keadaan pada suatu nilai bilangan gelombang diantara k dan k + dk seperti halnya pada bagian sebelumnya, yaitu

karena E = ħkv_s, maka

sehingga

 (1)

Untuk menentukan batas integral, kita bisa mendefinisikan rapat energi Debye ED, yaitu rapat energi ketika frekuensi fonon bernilai frekuensi Debye ωD sebagai batas atas dari integral. Hal ini secara otomatis juga mendefinisikan suatu konstanta temperatur/suhu Debye θD, dimana

sehingga suhu Debye dapat diekspresikan secara lengkap sebagai

 (2)

dan k dalam konteks ini merupakan konstanta Boltzmann (bedakan dengan angka gelombang yang juga disimbolkan dengan k, karena kita tidak lagi menggunakan parameter tersebut sebagai perhitungan utama). Sebelum memasukkan ke Persamaan (1), kita juga dapat memisalkan

untuk mempermudah perhitungan, sehingga

atau digabungkan dengan Persamaan (2), maka

  (3)

Persamaan ini pada dasarnya merupakan persamaan umum energi total, serta untuk menentukan kapasitas kalor bahan. Selanjutnya, kita dapat memodelkan persamaan ini dengan mengasumsikan nilai T. Katakan suatu bahan berada pada suhu jauh lebih kecil dari suhu Debye (T << θD). Ini menyebabkan nilai batas atas menjadi sangat besar, sehingga kita dapat melakukan aproksimasi sehingga

dan Persamaan (3) menjadi

sehingga kapasitas kalornya adalah

Dapat kita lihat bahwa kapasitas kalor bahan pada volume tetap sebanding dengan kubik suhunya untuk suhu yang nilainya jauh di bawah suhu Debye. Model ini merupakan model yang lebih sesuai dengan eksperimen dibandingkan model-model sebelumnya, dimana pada model Einstein terdapat penyimpangan yang lebih besar dari hasil eksperimen.

Kemudian apabila suhu bahan jauh lebih besar dari suhu Debye (T >> θD), maka dengan mengacu ke Persamaan (3), bentuk eksponensial dalam integral akan menjadi sangat kecil, sehingga bisa didekati dengan deret Taylor, yaitu

sehingga Persamaan (3) menjadi

Hasil ini akan memberikan nilai CV = 3R untuk satu mol bahan, yang sesuai dengan model-model sebelumnya.