Distribusi/Statistik Bose-Einstein (Model Debye : Frekuensi Debye)

Prev : Model Debye tentang Kalor Jenis : Pendahuluan, Distribusi/Statistik Bose Einstein (Model Einstein tentang Kalor Jenis)

Pada model Debye, atom-atom pada suatu bahan bergetar sedemikian rupa sehingga akan membentuk suatu gelombang berdiri, dimana hanya atom-atom bagian dalam yang bergerak, sedangkan di bagian ujung akan diam. Kita dapat memodelkan gerakan atom ke-m dari jumlah total atom dalam moda atau angka gelombang k sebanyak N + 1 dengan persamaan

Agar membentuk gelombang berdiri, dimana atom paling ujung kita beri label m = 0 dan ujung lainnya m = N memiliki perpindahan y = 0, maka otomatis nilai dari k harus bernilai bilangan bulat. Dengan demikian, getaran-getaran moda atau fonon menjadi terkuantisasi. Selanjutnya, karena nilai m juga bilangan bulat, maka, ketika nilai k = N, maka semua atom akan berada pada fase π, 2π, 3π, dst. yang dimana akan menghasilkan nilai y = 0, atau dimana atom-atom tidak bergetar. Dan selanjutnya ketika k > N, kita juga dapat melihat bahwa getaran atom-atom pada nilai k tersebut adalah getaran yang sama seperti nilai k sebelumnya, sesuai dengan kurva fungsi sinus yang nilainya akan kembali dari titik penyimpangan maksimum dan minimumnya. Hal ini memiliki arti bahwa terdapat nilai k maksimum pada fonon. Menggunakan hubungan dispersi atau hubungan antara frekuensi sudut dengan angka gelombang

dimana vs adalah kecepatan rambat fonon atau suara, maka kita dapat mengetahui bahwa terdapat suatu frekuensi maksimum atau panjang gelombang minimum pula pada fonon. Konsekuensinya, kita juga dapat menuliskan energi fonon sebagai

Untuk mengetahui frekuensi maksimum, kita dapat menggunakan fungsi partisi sebagai berikut, dimana banyaknya keadaan frekuensi pada nilai ω hingga ω + dω adalah

dimana angka 3 merepresentasikan tiga derajat kebebasan, yaitu pada sumbu x, y, dan z. Kita juga menggunakan fungsi partisi untuk jumlah keadaan k pada nilai k hingga k + dk dalam volume V, yaitu

Menggunakan hubungan dispersi, kita peroleh

sehingga

atau

Persamaan ini merupakan persamaan untuk menentukan frekuensi Debye.

Next : Distribusi/Statistik Bose-Einstein (Model Debye : Temperatur Debye dan Kalor Jenis)