Posisi Sudut

Misalkan terdapat suatu meja bundar dengan beberapa buah kursi yang diletakkan simetris berdesakan mengelilingi meja tersebut, seperti pada gambar.

Pertanyaannya adalah, berapakah panjang keliling meja tersebut, termasuk kursi-kursi yang mengelilinginya? Saat ini kita tidak akan menggunakan satuan resmi seperti meter, cm, dsb., namun kita akan membuat satuan sendiri untuk sistem ini, yaitu dengan memperhitungkan kursi-kursi yang ada. Oleh karena itu, kita akan melabeli kursi-kursi ini, diawal dengan angka 0 hingga 7 dari kursi paling kanan. Ketika proses pelabelan, kita akan menemukan dua hasil pelabelan yang dapat terjadi, yaitu

dan

Tentu saja kita akan mengabaikan konfigurasi acak, seperti melabelkan kursi paling kiri dengan angka 1. Kemudian, apakah perbedaan dari kedua konfigurasi yang ditampilkan pada gambar? Pada gambar pertama, kita melabeli kursi dari 0 ke 7 berurutan berlawanan arah jarum jam, sedangkan yang kedua searah dengan jarum jam. Dengan demikian, perbedaan kedua konfigurasi tersebut terletak pada arah pelabelan, sehingga apabila kita bicara arah, berarti kita bicara vektor. Kita dapat memberikan vektor ini dengan θ, dimana tanda positif mewakili arah berlawanan jarum jam, sedangkan negatif searah jarum jam. Namun, umumnya vektor rotasi biasanya digambarkan dengan arah keluar bidang/layar untuk tanda positif dan masuk untuk negatif, apabila mengacu sistem ini. Vektor θ pada dasarnya merupakan vektor sudut, mengingat tiap kursi dibedakan berdasarkan besar sudut antara masing-masing kursi terhadap garis normal, yaitu garis yang melewati kursi berlabel 0 dan ditarik dari pusat meja.

Untuk mengetahui panjang keliling sistem s di atas, apabila kita mengetahui vektor jari-jari r dengan nilai skalarnya yaitu r, maka kita dapat menggunakan persamaan keliling lingkaran seperti biasanya, yaitu

Kita dapat menggunakan persamaan ini untuk satu lingkaran penuh. Tentu saja 2π menandakan satu putaran penuh. Untuk setengah lingkaran, kita hanya perlu membagi nilai panjang keliling dengan angka dua, sehingga

Begitu pula dengan seperempat lingkaran, kita membaginya dengan angka empat

sehingga untuk seper-n lingkaran, persamaannya menjadi

Seperti yang telah kita lihat, konstanta yang tadinya adalah 2π menjadi suatu variabel  2π/n, dimana n merupakan bagian-bagian lingkaran. Bagian-bagian dari lingkaran ini identik dengan vektor θ yang telah disebutkan sebelumnya, yang menyatakan vektor sudut. Ketika θ menempuh lingkaran penuh, θ akan memiliki nilai 2π apabila berlawanan jarum jam, dan -2π apabila searah. Sehingga kita bisa tuliskan

Persamaan ini dasarnya merupakan persamaan umum, dimana θ akan bernilai 2π untuk lingkaran penuh. Satuan dari θ adalah radian (disingkat “rad”), dan umumnya ditambah konstanta π dengan acuan setengah lingkaran, sehingga nilai dari 2π adalah 6.28, sama seperti biasanya.

Kita juga dapat merepresentasikannya sebagai vektor sebagai berikut

Namun, persamaan ini belum selesai, karena perkalian antara dua vektor dapat merupakan dot atau cross product. Karena θ dan r saling tegak lurus, dan s tidak mungkin nol dalam kondisi ini, maka kita gunakan cross product, sehingga

Perhatikan bahwa s merupakan vektor yang menandakan jarak antara satu kursi ke kursi yang lain pada gerak melingkar. Sebagai contoh, pada konfigurasi pertama, berapakah jarak kursi 4 dari kursi 2? Kita akan memperoleh dua jawaban, yaitu 2 kursi berlawanan jarum jam, dan 6 kursi searah jarum jam.

Next : Frekuensi dan Periode