Kalkulus : Limit – Limit Tak Hingga

Prev : Kalkulus : Limit – Aturan-aturan Bentuk Limit, Nilai-nilai Tak Tentu, dan Bentuk Nol dan Tak Hingga

Pada bagian ini kita akan meninjau beberapa permasalahan ketika variabel x mendekati nilai tak hingga.

Tinjau suatu limit berikut

apabila kita masukkan nilai tak hingga ke persamaan tersebut, maka kita akan mendapatkan bentuk

yang merupakan bentuk tak tentu, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Namun, kita dapat memfaktorkan fungsi tersebut untuk memperoleh nilai limit dari fungsi ini, sehingga kita peroleh

Menggunakan aturan

kita akan memperoleh nilai ∞*1, yang akan menghasilkan nilai ∞ yang merupakan jawaban dari soal tersebut.

Selanjutnya tinjau kasus tersebut

dimana A, B, C, D, E, dan F merupakan bilangan real. Persamaan ini juga akan menghasilkan nilai tak tentu, yakni ∞/∞. Kita dapat menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya pada bagian pembilang dan penyebut, sehingga

Karena nilai real apapun yang dibagi ∞ akan menghasilkan nilai nol, maka hasilnya dapat kita tuliskan

Begitu pula untuk polinomial bersuku n, kita akan mendapatkan hasil yang sama

Bagaimana juga polinomial pada bagian pembilang bersuku m dan pada bagian penyebut bersuku n, dan m ≠ n?

Menggunakan cara yang sama, kita akan peroleh

Kita dapat memecah persamaan ini menjadi

Pada bentuk bagian kanan, sudah jelas bahwa hasilnya adalah A/D. Pada bagian kiri, kita dapat mengubahnya menjadi

Dari sini dapat kita lihat bahwa ketika m > n, maka pangkatnya akan bernilai positif, sehingga akan menghasilkan nilai tak hingga, sedangkan apabila m < n, maka pangkatnya akan bernilai negatif, sehingga menghasilkan nilai nol. Karena A/D bilangan real, maka berapapun nilai A/D, hasilnya tidak akan berpengaruh (A/D * 0 = 0, dan A/D * ∞ = ∞). Sehingga dapat kita simpulkan sebagai berikut.

Pada fungsi

1. Apabila m < n, maka hasilnya adalah nol.
2. Apabila m > n, maka hasilnya adalah tak hingga.
3. Apabila m = n, maka hasilnya adalah A/D.

Terakhir, kita akan meninjau fungsi berikut

Fungsi ini juga akan menghasilkan nilai tak tentu. Kita dapat menggunakan cara biasa sehingga kita peroleh

sehingga

Dari sini kita lihat bahwa ketika m > n, maka di bagian pembilang akan tersisa bilangan A, sedangkan di bagian penyebut akan menghasilkan nilai nol, sehingga limit di atas akan bernilai ∞. Sedangkan ketika m < n, yang tersisa adalah –D/0, sehingga akan bernilai -∞. Bagaimana ketika nilai m = n? Dalam kasus ini dapat kita tulis

Kita dapat memecah persamaan di atas menjadi

atau

Seperti yang dapat kita lihat, penyelesaian kasus di atas menjadi sangat rumit, terutama apabila kedua polinomial di dalam masing-masing akar berderajat lebih dari dua. Kedua suku yang terlihat pada persamaan di atas sama-sama memberikan nilai tak hingga. Kita dapat menyimpulkan hasil persamaan di atas adalah tak hingga hanya jika nilai A > D, B > E, dst. sehingga semua penjumlahan akan menghasilkan nilai tentu. Namun, misalkan A > D dan B < E, kita akan memperoleh hasil ∞ – ∞ yang merupakan nilai tak tentu, sehingga kita memerlukan perhitungan tambahan. Oleh karena itu, kita akan mempersempit kasus yaitu untuk fungsi kuadrat di dalam akar, atau untuk m = 2. Namun, kita harus memulai dari persamaan ketiga terakhir, karena suku pertama dari persamaan setelahnya akan memberikan 0/0 apabila A = D, sehingga

atau

Ini memberikan kita dua hasil, yakni ∞ untuk A > D, dan -∞ untuk A < D. Untuk nilai A = D, maka