Prev : Ortogonalitas – Notasi Dirac – Mekanika Kuantum
Hasil operasi bra-ket atau produk dalam yang telah dibahas sebelumnya merupakan suatu nilai, yaitu amplitudo probabilitas. Namun, bagaimana jika operasi tersebut dibalik sehingga menjadi operasi ket-bra, seperti di bawah ini?
Atau apabila kita tulis dalam bentuk matriks, maka
Seperti yang kita lihat, operasi matriks masih bekerja dalam kasus ini. Hasil operasi dari produk ket-bra ini disebut sebagai produk luar. Berbeda dengan produk dalam yang hanya menghasilkan satu nilai, produk luar menghasilkan suatu matriks, atau biasa disebut sebagai operator. Apabila a dan b memiliki keadaan yang saling ortogonal sebanyak n, maka ukuran matriks yang diperoleh akan sebesar n x n.
Kita akan mengaplikasikan produk luar ini pada kasus polarisasi foton sebelumnya. Katakanlah polarizer pertama memiliki arah horizontal dan arah polarizer kedua vertikal. Dengan demikian apabila keadaan horizontal adalah H dan vertikal adalah V, maka
Sedangkan apabila polarizer pertama kita tukar dengan polarizer kedua, maka
Dapat kita lihat dari kedua kasus ini, meskipun kedua kasus memiliki sudut tegak lurus antara kedua polarizer, operator yang dihasilkan berbeda. Apabila kita ambil operator |H><V| yang bekerja pada keadaan |H>, maka
sedangkan apabila bekerja pada keadaan |V>, maka
Ketika operator |H><V| ini bekerja pada |V>, maka dapat dilihat bahwa hasilnya kembali pada operator |H>. Pada dasarnya kita dapat melakukannya dengan cara yang lebih mudah, yaitu
Karena V dan H saling ortogonal, maka <V|H> = 0, sehingga hasilnya konsisten seperti pada sebelumnya. Begitu pula apabila bekerja pada ket sembarang, yaitu
Sehingga dapat dikatakan bahwa ket yang dikerjakan operator berguna untuk menyeleksi hasil yang akan diperoleh, sehingga disebut sebagai operator proyeksi. Sebagai contoh, apabila ψ ortogonal terhadap V, maka hasil yang diperoleh adalah nol, atau tidak ada cahaya yang diperoleh. Namun, contoh di atas belum menunjukkan interpretasi fisis dari produk luar secara jelas, dan kita akan mempelajari lebih dalam pada waktu mendatang.
Sekarang apabila polarizer pertama dan kedua sama sama memiliki arah horizontal, maka
sedangkan apabila arahnya vertikal
Melihat kedua hasil di atas, maka apabila kita jumlahkan, kita akan memperoleh matriks identitas
Sehingga berlaku
Persamaan ini disebut sebagai hubungan kelengkapan atau klosur.
Next : Hubungan Kelengkapan (Klosur) – Notasi Dirac – Mekanika Kuantum
Science and Games 