Tensor Tegangan Maxwell (Maxwell Stress Tensor)

Prev : Medan Elektromagnetik dan Penyimpangan Hukum Newton III

Sebelumnya kita telah membahas bagaimana medan elektromagnet dapat menyimpang hukum Newton III, dimana besar gaya elektromagnet yang dialami kedua muatan titik adalah sama, namun arahnya tidak berlawanan. Sekarang kita akan menginvestigasi lebih lanjut tentang gaya elektromagnet itu sendiri. Gaya elektromagnet dituliskan sebagai

CodeCogsEqn (77)

Kita dapat mendefinisikan

CodeCogsEqn (78)

sebagaimana

CodeCogsEqn (79)

dimana f dan ρ adalah rapat gaya elektromagnet dan muatan pada volume τ. Sehingga

CodeCogsEqn (81)

Karena Jρv, maka

CodeCogsEqn (82)

Kita dapat mensubstitusikan nilai ρ dan J menggunakan persamaan Maxwell 1 dan 4, yaitu

CodeCogsEqn (83)

CodeCogsEqn (84)

sehingga

CodeCogsEqn (86)

Dari suku ketiga menggunakan aturan produk gradien dot product

CodeCogsEqn (5)

dan suku keempat

CodeCogsEqn (89)

serta karena dB/dt = -∇ × E, maka

CodeCogsEqn (4)

Sama seperti sebelumnya, suku ketiga ruas kanan adalah

CodeCogsEqn (6)

Sehingga

CodeCogsEqn (3)

Kita tahu bahwa suku terakhir akan menghasilkan vektor poynting, serta kita dapat merapihkan persamaan ini menjadi

CodeCogsEqn (2)

Agar persamaan menjadi lebih simetris, kita dapat memasukkan persamaan Maxwell kedua (ini tidak masalah, karena ∇ • B = 0, sehingga memasukkan nilai ini ke dalam persamaan dimana saja tidak akan merubah apapun), sehingga

CodeCogsEqn (1) (1)

Persamaan di atas terlalu panjang. Kita perlu menyederhanakannya supaya mudah dicerna. Pada suku terakhir sudah jelas merupakan bentuk vektor poynting, sehingga kita dapat membiarkannya. Suku pertama dan kedua memiliki bentuk yang identik, sehingga kita dapat menyederhanakan masing-masing suku dengan cara yang sama. Kita ambil contoh (∇ • E)E, pertama, kita dapat mendefinisikan E sebagai

CodeCogsEqn (7)

atau kita dapat mempermudah penulisan menjadi

CodeCogsEqn (8)

dimana i adalah indeks koordinat (x, y, atau z). Maka divergensi dari E ini adalah

CodeCogsEqn (9)

Namun, apabila kita kalikan dengan E, maka

CodeCogsEqn (10).gif

sehingga menyebabkan adanya komponen vektor baru sebanyak tiga untuk tiap ketiga vektor yang ada sebelumnya. Indeks j digunakan untuk membedakan dengan vektor dalam i. Vektor yang berevolusi ini disebut sebagai tensor. Kita bisa melihat untuk bentuk lain, yaitu (E • ∇)E, akan menghasilkan

CodeCogsEqn (11)

Delta Kronecker δ digunakan untuk memberikan nilai nol apabila i ≠ j, berdasarkan kenyataan bahwa turunan dari nilai skalar E terhadap jarak yang tidak berada pada koordinatnya adalah nol. Delta Kronecker ini juga akan muncul pada ∇E²/2, yakni

CodeCogsEqn (14).gif

Berkat adanya delta Kronecker, indeks i pada vektor satuan x dapat diganti dengan indeks j untuk menyamakan dengan yang lain, sehingga secara keseluruhan kita peroleh

CodeCogsEqn (17).gif

Ketiga suku diatas pada dasarnya adalah bentuk dari divergensi, dan berdasarkan aturan turunan berantai, suku pertama dan kedua apabila dijumlahkan akan menghasilkan suatu bentuk divergensi terhadap vektor i, sehingga kita peroleh

CodeCogsEqn (18)

Karena semua suku merupakan bentuk divergensi, maka bentuk ini dapat kita misalkan kedalam bentuk divergensi yang lain, seperti

CodeCogsEqn (20)(2)

Sehingga

CodeCogsEqn (26)

dan disebut sebagai tensor tegangan Maxwell. Namun, persamaan ini masih belum lengkap, karena belum termasuk komponen medan magnet. Menggunakan cara yang sama, kita akan memperoleh seperti halnya persamaan diatas, yaitu

CodeCogsEqn (27)

sehingga persamaan lengkapnya adalah

CodeCogsEqn (25).gif

Persamaan ini apabila diambil nilai divergensinya, maka akan menghasilkan persamaan yang sama seperti Persamaan (2), sehingga kembali ke Persamaan (1), kita memperoleh

CodeCogsEqn (28)

atau apabila kita kembalikan pada bentuk semula

CodeCogsEqn (29)

Perhatikan bahwa ketika pada keadaan statis, suku kedua akan hilang (karena tidak ada perubahan medan listrik dan medan magnet), sehingga persamaan ini dapat digunakan untuk berbagai kasus, dan T dapat diartikan sebagai gaya per satuan luas permukaan tertutup.

Next : Momentum dalam Medan Elektromagnetik

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s