Persamaan Dirac – Teori Kuantum pada Elektron

Eksperimen yang dilakukan oleh Otto Stern dan Walter Gerlach pada tahun 1922 menimbulkan banyak pertanyaan pada para fisikawan saat itu. Dari eksperimen yang mereka lakukan, atau biasa disebut eksperimen Stern-Gerlach (SGE), mereka menemukan bahwa elektron yang melewati medan magnet yang memiliki arah tegak lurus terhadap arah spin elektron dapat merubah arah spin elektron tersebut menjadi spin-up atau spin-down, dengan probabilitas masing-masing sebesar 50%. Probabilitas inilah yang menyebabkan gagalnya mekanika klasik dalam menjelaskan fenomena ini, karena tidak dapat diketahui elektron yang mana yang akan memiliki spin-up atau down, semua ditentukan secara acak. Dari sini, fisikawan mulai memikirkan cara untuk menjelaskan fenomena ini, sehingga pada tahun 1925 lahirlah mekanika kuantum.

Erwin Schrödinger, salah satu penyumbang terbesar dalam perkembangan mekanika kuantum, menggagas suatu persamaan yang dijabarkan dari persamaan gelombang dan beberapa konsep dari fisika modern seperti panjang gelombang de Broglie, sehingga dikenal sebagai persamaan Schrödinger, yang digunakan salah satunya untuk menentukan probabilitas ditemukannya elektron pada atom hidrogen, dan masih digunakan hingga saat ini. Namun, persamaan Schrödinger ini hanya berlaku untuk kasus non-relativistik, atau kasus untuk partikel yang memiliki massa dibawah kecepatan cahaya. Schrödinger mencoba untuk menemukan persamaan lain sehingga dapat digunakan untuk kasus relativistik, namun tidak membuahkan hasil karena persamaan yang diperoleh memiliki penyelesaian yang sangat rumit. Oskar Klein dan Walter Gordon pada tahun yang sama berhasil memecahkan masalah ini, sehingga disebut persamaan Klein-Gordon

CodeCogsEqn992

Namun, masih terdapat suatu masalah dari persamaan ini. Energi yang digunakan oleh Klein dan Gordon memiliki ekspresi yang sama seperti apa yang dilakukan oleh Schrödinger, yaitu

CodeCogsEqn (79) (1)

yang sekaligus merupakan nilai eigen energi pada persamaan KG. Apabila kita lihat pada persamaan ini, kita akan mengetahui bahwa E memiliki dua nilai, yaitu nilai positif dan negatif. Beberapa dari kita dapat mengatakan bahwa karena secara klasik E tidak dapat bernilai negatif, maka kita hanya perlu memikirkan nilai positif saja. Namun, dalam mekanika kuantum, kita tidak dapat mengabaikan hal itu. Selain itu, baik persamaan Schrödinger maupun KG juga tidak dapat menghasilkan nilai tingkat energi elektron pada atom hidrogen dengan benar, mengingat bahwa elektron memiliki bilangan kuantum spin, dan kedua persamaan tersebut tidak mengandung spin di dalamnya.

Pada tahun 1928, seorang fisikawan bernama Paul Dirac mencoba untuk memecahkan masalah tersebut. Sebelumnya, untuk memudahkan perhitungan, kita akan mengeliminasi konstanta-konstanta dengan menggunakan satuan alami, dimana c = h = 1, sehingga Persamaan (1) menjadi

CodeCogsEqn (81) (2)

Apa yang dilakukan Dirac dari Persamaan (2) adalah dengan melakukan permisalan, yaitu

CodeCogsEqn (82) (3)

Dengan menguadratkan semua ruas, maka

CodeCogsEqn (84).gif

dimana F adalah bagian lain dari hasil penguadratan ruas kanan. Karena

CodeCogsEqn (85)

maka

CodeCogsEqn (86)

sehingga dibutuhkan nilai F = 0, dan

CodeCogsEqn (88)

Mengingat bahwa px, py, dan pz adalah operator yang saling komut, maka fungsi F dapat ditulis

CodeCogsEqn (90)

Disini kita menggunakan “…” untuk mempersingkat penulisan, karena sangat panjang namun mudah ditebak dari perkalian di atas. Tanda kurung kurawal ({}) adalah notasi anti-komut, dan banyaknya hubungan anti-komut dalam fungsi ini adalah

CodeCogsEqn

CodeCogsEqn (1)

CodeCogsEqn (2)

CodeCogsEqn (3)

CodeCogsEqn (4)

CodeCogsEqn (5)

Karena p adalah operator, maka agar F = 0, keenam bentuk anti-komut di atas harus nol. Ini menimbulkan masalah karena kuadrat dari keempat konstanta di atas adalah satu, dimana apabila disubstitusikan ke persamaan anti-komut diatas akan menghasilkan nilai yang tidak nol. Untuk menyelesaikan masalah ini, Dirac menggunakan matriks Pauli yang digunakan untuk menjelaskan perilaku spin elektron, yakni

CodeCogsEqn (6)

CodeCogsEqn (7)

CodeCogsEqn (9)

Namun, dengan langsung mengasumsikan nilai-nilai σ ini dengan nilai α tidak akan memberikan hasil yang diinginkan. Oleh karena itu, Dirac memperluas elemen matriks di atas menjadi 4×4, sehingga

CodeCogsEqn (10)

CodeCogsEqn (11)

CodeCogsEqn (12)

Selain itu, Dirac juga memperkenalkan matriks baru ρ, yang merupakan matriks yang sama seperti σ, namun dengan menukar baris dan kolom ke dua dengan ketiga, yaitu

CodeCogsEqn (13)

CodeCogsEqn (14)

CodeCogsEqn (16)

dari sini, Dirac hanya perlu bermain dengan keenam matriks ini untuk memperoleh nilai-nilai α dalam bentuk matriks identitas. Dirac menggunakan hubungan

CodeCogsEqn (17)

CodeCogsEqn (18)

CodeCogsEqn (19)

CodeCogsEqn (20)

sehingga apabila semua ruas dikuadratkan akan menghasilkan matriks identitas, serta mengalikan matriks α satu sama lain akan menghasilkan hubungan yang anti-komut. Dari sini diperoleh parameter-parameter yang diperlukan, sehingga Persamaan (3) dapat ditulis

CodeCogsEqn (21)

Persamaan ini adalah persamaan yang didapat oleh Dirac, sehingga biasa disebut persamaan Dirac. Karena E dan p adalah operator, dan matriks ρ dan σ berelemen sebanyak 4×4, maka secara otomatis fungsi gelombang ψ harus merupakan matriks 4×1, atau

CodeCogsEqn (22)

sehingga menyatakan bahwa satu fungsi gelombang memiliki empat komponen fungsi gelombang. Hal ini mengimplikasikan bahwa persamaan Dirac ini dapat menjelaskan secara rinci perilaku suatu partikel yang memiliki fungsi gelombang lebih dari satu, salah satunya adalah elektron bebas yang memiliki spin-up dan spin-down, yang masing-masing memiliki karakteristik dan fungsi gelombang yang berbeda.

 

Referensi :

https://www.youtube.com/watch?v=OCuaBmAzqek

Dirac, PAM,. (1928). “The Quantum Theory of the Electron”. Proceeding of the Royal Society of London. 117. 610-624.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: