Distribusi/Statistik Fermi-Dirac (Penjabaran)

Memasuki tahun ajaran baru setelah para siswa naik kelas, mereka akan langsung mencari tempat duduk yang tersedia. Dengan banyaknya bangku yang tersedia sebanyak g, dan banyaknya siswa adalah n, banyaknya cara bangku-bangku tersebut akan terpenuhi adalah

CodeCogsEqn (58)

tanpa memperdulikan siapa yang duduk dimana (kita hanya memperdulikan apakah tempat duduk itu terisi atau tidak). Apabila sekolah tersebut memiliki kelas sebanyak N, maka total keseluruhan bangku-bangku dapat terpenuhi adalah

CodeCogsEqn (62)

dimana i adalah indeks kelas (kelas 1, kelas 2, dst.). Sekarang kita akan mulai bermain matematika, dan pertama kita akan mengubah ruas kiri dan kanan ke dalam bentuk logaritma, yaitu

CodeCogsEqn (61)

Aturan logaritma mengatakan bahwa ln ab = ln a + ln b, serta ln a/b = ln a – ln b, sehingga dapat kita tulis

CodeCogsEqn (63)

menggunakan pendekatan Stirling, dimana ln a! ≅ a ln a – a, maka

CodeCogsEqn (64).gif (1)

Misalkan pada sekolah tersebut terdapat suatu kebijakan, dimana setiap siswa harus membayar kas per bulannya, dan tiap tempat duduk memiliki tagihan kas yang berbeda-beda, namun dengan fasilitas yang berbeda pula. Katakanlah bahwa banyaknya uang yang diperoleh dari kelas i adalah sebesar E_i, maka jumlah keseluruhan uang yang terkumpul adalah

CodeCogsEqn (65)

Menggunakan metode Lagrange, kita akan menentukan titik maksimum dari fungsi ln W_i, dengan menggunakan fungsi jumlah keseluruhan uang dan jumlah siswa keseluruhan

CodeCogsEqn (66)

sebagai batas, sehingga kita akan memperoleh persamaan

CodeCogsEqn (67)

Dengan melakukan diferensiasi terhadap n_i, kita peroleh

CodeCogsEqn (68) (2)

Untuk menentukan suku pertama pada ruas kanan, kita akan melakukan diferensiasi pada Persamaan (1) terhadap n_i, sehingga diperoleh

CodeCogsEqn (69)

mensubstitusikan ke Persamaan (2), maka

CodeCogsEqn (70)

Untuk menentukan titik maksimum, diferensial F terhadap n_i harus nol, sehingga

CodeCogsEqn (71)

CodeCogsEqn (72)

dengan demikian, kita akan peroleh hubungan

CodeCogsEqn (73) (3)

Persamaan (3) ini adalah persamaan umum dari distribusi Fermi-Dirac. Kita dapat mengubah Persamaan (3) dalam bentuk lain, yaitu dengan mendefinisikan

CodeCogsEqn (74)

sehingga

CodeCogsEqn (75)

kita bisa mendefinisikan apa itu E_F dengan mengasumsikan nilai β = -∞, sehingga dengan demikian, ketika E_i < E_F, suku eksponensial akan menjadi 0, sehingga

CodeCogsEqn (76)

yang menyatakan bahwa semua siswa yang ada di kelas i akan menempati tempat duduk yang kas tagihannya paling murah (probabilitas ditempatinya tempat duduk tersebut adalah 1). Sedangkan ketika E_i > E_F, kita akan memperoleh n_i/n_g = 0, menandakan bahwa probabilitas adanya siswa yang menduduki bangku dengan tagihan kas yang lebih besar dari E_F adalah nol. Dari sini dapat dikatakan bahwa nilai dari E_F adalah perolehan kas terbanyak ketika para siswa memilih bangku dengan tagihan kas termurah. Misal, apabila dalam kelas i para siswa memilih bangku-bangku tersebut, perolehan kas pada kelas i hanya akan mencapai nilai paling banyak yaitu E_f.

Sistem kas seperti inilah yang berlaku pada sistem elektron atau partikel fermion lainnya. Berdasarkan larangan Pauli, tiap keadaan hanya dapat ditempati oleh satu elektron, sama seperti analogi dimana tiap tempat duduk hanya dapat ditempati oleh satu siswa. Tagihan kas yang disebutkan sebelumnya merupakan analogi dari tingkat energi yang dimiliki oleh elektron pada keadaan tertentu, sedangkan E_F dalam fisika disebut sebagai energi fermi, yaitu tingkat energi terbesar yang dapat ditempati elektron-elektron pada suhu nol mutlak, identik dengan kasus ketika siswa-siswa dalam suatu kelas memilih tempat duduk yang paling murah, sehingga menyebabkan perolehan kas maksimum pada kelas tersebut bernilai sebesar E_F, atau kita bisa sebut sebagai “tagihan kas fermi”. Selanjutnya, kita akan fokus ke sistem elektron menggunakan distribusi Fermi-Dirac ini, serta mengetahui apa sebenarnya parameter β tersebut dalam sistem elektron.

Distribusi Fermi-Dirac, beserta dengan distribusi Maxwell-Boltzmann dan Bose-Einstein, selain digunakan untuk mempelajari perilaku partikel fisis dalam jumlah banyak, juga dapat digunakan untuk memodelkan sistem ekonomi dalam bidang studi ekonofisika, yang lahir pada tahun 1997.

Next : Distribusi/Statistik Fermi-Dirac (Elektron)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: