Pusat Massa

*Lanjutan dari Momen Gaya

Sebelumnya kita telah mengetahui konsep tentang momen gaya dan aplikasinya pada jungkat-jungkit. Kali ini kita akan mempelajari lebih dalam tentang momen gaya dan perannya dalam kehidupan nyata.

Tinjau suatu sistem pada gambar berikut

balance

Katakan bahwa kita memiliki sistem diatas. Balok kuning adalah beban bermassa m yang akan kita letakkan dan ditumpuk pada kedua ujung kayu yang berwarna hijau. Kita akan menggunakan asumsi bahwa massa balok kuning jauh lebih besar daripada kayu yang digunakan, sehingga ukuran balok dan massa kayu dapat diabaikan. Kemudian kita ingin meletakkan segitiga abu-abu di bawah sistem tersebut. Pertanyaannya adalah, dimanakah kita harus meletakkan segitiga tersebut agar keadaan sistem setimbang, mengingat bahwa gaya gravitasi bekerja dalam sistem ini?

Kita ketahui bahwa beban m ditumpuk di bagian kiri sebanyak 8, dan di bagian kanan sebanyak 6. Sehingga kita ketahui bahwa W1 dan W2 adalah

CodeCogsEqn

CodeCogsEqn (1)

kemudian kita akan menggunakan acuan dimana r1 adalah jarak antara beban W1 ke titik yang akan kita letakkan segitiga, sehingga jarak antara beban W2 ke titik tersebut otomatis adalah d-r1. Menggunakan Persamaan (2) pada post sebelumnya, kita akan peroleh

CodeCogsEqn (2)

sehingga

CodeCogsEqn (3)

artinya kita harus meletakkan segitiga tersebut pada titik 3/7 dari panjang kayu d. Titik ini disebut sebagai pusat massa, yaitu titik dimana terjadinya keseimbangan (resultan momen gaya = 0) apabila tidak ada gaya lain yang bekerja kecuali gaya gravitasi. Pada pertunjukan-pertunjukan sirkus atau sulap, umumnya digunakan konsep ini untuk menjaga keseimbangan. Sebagai contoh, agar dapat berjalan pada tali, pesirkus harus dapat menjaga agar pusat massanya berada tepat di tengah tali agar tidak jatuh. Selain itu, dalam flip bottle challenge, yang pernah menjadi tren di negara barat, kita dapat mencurangi permainan tersebut apabila kita mengatur banyaknya air dengan volume yang tepat agar pusat massanya tidak bergerak terlalu jauh apabila botol telah mendarat.

Untuk lebih jelas, kita akan tinjau balok kuning tersebut lebih dekat.

box

Disini kita meninjau kotak tersebut dalam satu dimensi, dimana kita mengambil titik nol di bagian paling kiri. Pertama kita akan mengasumsikan bahwa kotak ini memiliki persebaran massa yang uniform (tidak berat sebelah), dimana m1 = m2 = m. Katakanlah bahwa pusat massa kotak berada di titik yang belum kita ketahui Lx, maka menggunakan aturan kesetimbangan

CodeCogsEqn (99) (3)

karena gaya gravitasi tetap bekerja pada kotak ini, kita akan dapatkan

CodeCogsEqn (5)

sehingga diperoleh bahwa

CodeCogsEqn (6).gif

artinya pusat massanya berada di tengah-tengah kotak pada sumbu x. Apabila m1 tidak sama dengan m2, maka

CodeCogsEqn (8).gif

dan kita peroleh Lx yaitu

CodeCogsEqn (9)

yang menyebabkan pusat massa yang berbeda. Dengan kata lain, apabila kotak ini tidak uniform, maka akan berat sebelah. Sebagai contoh, dari persamaan diatas apabila nilai m2 jauh lebih besar dari m1, maka pusat massanya akan mendekati titik p, atau titik yang mewakili panjang kotak.

Sekarang kita akan tinjau suatu tongkat yang memiliki sebaran massa yang non-uniform, dan bagian-bagiannya diibaratkan sebagai deretan kotak yang saling menempel dan berjumlah n dan tiap kotak memiliki ukuran dan massa yang berbeda-beda, seperti pada gambar

boxes

Kita akan mencari tahu letak pusat massanya. Menggunakan Persamaan (3), maka

CodeCogsEqn (40).gif

Sehingga

CodeCogsEqn (41)

CodeCogsEqn (42) (4)

Persamaan ini adalah persamaan yang digunakan untuk menentukan titik pusat massa dari suatu benda. Persamaan ini juga digunakan untuk koordinat yang berbeda, yakni

CodeCogsEqn (43)

CodeCogsEqn (44)

apabila bagian-bagian kecil mi memiliki massa dan ukuran yang sangat kecil (mendekati nol), kita dapat mengganti mi dan xi dengan dm dan dx, serta catat bahwa dengan demikian nilai n akan menjadi tak hingga. Sehingga Persamaan (4) menjadi

CodeCogsEqn (15)

Bentuk ini merupakan bentuk integral. yang dapat ditulis menjadi

CodeCogsEqn (16)

apabila dm = λ(x)dx, maka

CodeCogsEqn (17) (5)

berbeda dari Persamaan (4), Persamaan (5) digunakan apabila persebaran massanya kontinu dengan fungsi rapat panjang λ(x). Demikian juga dengan sumbu lain, yaitu

CodeCogsEqn (18)

CodeCogsEqn (19)

Next : Momen Inersia – Bagaimana Benda Dapat Menahan Dirinya Dari Berputar

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: