Gerak Benda Jatuh – Gaya Gesek Udara (kecepatan rendah) – Playing with Physical Equations

Ketika kita bergerak dengan kecepatan yang tinggi, maka kita akan merasakan udara-udara yang menumbuk badan kita (kecuali bergerak di ruang hampa udara). Ini disebabkan karena adanya gaya gesek udara yang bekerja ketika suatu partikel sedang bergerak, dan gaya tersebut akan meningkat seiring bertambahnya kecepatan partikel. Dari definisi tersebut, persamaan gaya gesek udara tersebut adalah

 (1)

Tanda negatif menyatakan bahwa gaya tersebut selalu berlawanan dengan arah gerak. So, let’s play with that equation, untuk gerak jatuh suatu partikel.

Pada gerak jatuh di udara, gaya apung dapat diabaikan karena nilainya yang cukup kecil, sehingga diagram benda bebasnya bisa digambarkan seperti di samping. Dalam kasus ini, arah ke bawah dinyatakan positif, sedangkan ke atas adalah negatif. Resultan gayanya dengan mudah yaitu

  (2)

Supaya lebih mudah dicerna, kita ubah ke dalam bentuk fungsi posisi menjadi

atau

 (3)

Persamaan (3) merupakan bentuk persamaan differensial orde dua, dan mempunyai solusi

 (4)

dimana x_c dan x_p adalah solusi karakterisik dan partikular dari Persamaan (3). Solusi untuk Persamaan (3) adalah

 (5)

dimana x₀ dan v₀ adalah posisi dan kecepatan awal partikel. Untuk gerak jatuh, dengan asumsi x₀ = 0, maka Persamaan (5) menjadi

(6)

Apabila nilai t sangat besar atau dalam waktu yang panjang (t >> 1), bentuk eksponensial akan mendekati nol, sehingga dapat diabaikan relatif terhadap bt/m, sehingga Persamaan (6) menjadi

 (7)

Dari Persamaan (7), kita melihat bahwa gerak yang terjadi pada partikel adalah gerak lurus beraturan, dimana percepatannya adalah nol, sehingga kecepatannya adalah

 (8)

dimana kecepatan yang dimaksud adalah kecepatan terminal, yaitu kecepatan partikel ketika partikel hanya bisa bergerak dengan kecepatan konstan. Menggunakan definisi kecepatan terminal, Persamaan (5) dapat dimodifikasi menjadi

 (9)

Dengan demikian konstanta-konstanta yang terdapat dalam persamaan sebelumnya dapat tereduksi. Apabila v₀ = v_t , maka Persamaan (9) menjadi

 (10)

yang tidak lain tidak bukan adalah persamaan umum gerak lurus beraturan. Artinya adalah ketika partikel mempunyai kecepatan awal yang sama dengan kecepatan terminal, partikel tidak mengalami percepatan sejak partikel tersebut mulai bergerak, atau selalu bergerak dengan kecepatan tetap. Sedangkan apabila v₀ >> v_t , selisih antara v₀ dan v_t akan mendekati v₀, sehingga Persamaan (9) menjadi

 (11)

Persamaan (11) masih belum dapat memberikan informasi yang rinci tentang gerak partikel tersebut. Oleh karena itu kita harus menentukan kecepatan partikel dengan menentukan turunan dari Persamaan (11) terhadap t, yaitu

 (12)

Untuk t = 0, maka

Karena v₀ >> v_t, maka

 (13)

Sesuai dengan definisi. Sedangkan untuk t mendekati tak hingga, maka Persamaan (12) menjadi

 (14)

Dari Persamaan (14) kita dapat menebak bahwa apabila partikel memiliki kecepatan awal yang melebihi kecepatan terminal, maka kecepatan partikel akan melambat hingga kecepatan terminal. Untuk memastikan hal tersebut, kita dapat menurunkan kembali Persamaan (12) terhadap t untuk mendapatkan percepatan partikel, yaitu

 (15)

Seperti yang kita harapkan, tanda negatif pada Persamaan (15) menunjukkan bahwa benda mengalami perlambatan. Untuk t = 0, Persamaan (15) menjadi

 (16)

yang merupakan perlambatan awal partikel. dan ketika t mendekati tak hingga, percepatannya adalah nol. Ini menandakan bahwa perlambatan partikel berubah dari  v₀g/v_t menuju nol, sesuai dengan tebakan kita.

Check out next : Gerak Horizontal