Vektor Poynting

Previous : Persamaan Kontinuitas (Divergensi dari Rapat Arus J)

Suatu muatan q yang bergerak dengan kecepatan v akan menghasilkan medan listrik E dan B, sehingga gaya yang bekerja pada muatan tersebut adalah jumlah dari gaya Coulomb dan gaya Lorentz pada muatan.

F=q(E+v×B)………………………..(1)

sehingga usaha yang bekerja pada muatan adalah :

dW=F∙dl=q(E+v×B)∙dl………………………..(2)

karena dl=v dt, maka :

dW=q(E+v×B)∙v dt……………………………….(3)

Arah cross product dari v×B adalah tegak lurus terhadap vektor v. Dengan menggunakan aturan dot product, maka didapat bahwa (v×B)∙v = 0 (didapat dari cos 90º = 0). Sehingga persamaan (3) menjadi :

dW=qE∙v dt………………………………….(4)

sehingga laju perubahan usaha pada muatan adalah :

dW/dt=qE∙v…………………………………(5)

karena ρv=J, maka

dW/dt=∫E∙J dτ………………………………………(6)

untuk menghilangkan J, dapat digunakan persamaan keempat Maxwell, yaitu :

J=∇×H – dD/dt……………………………..(7)

dengan mensubstitusikan J, persamaan (6) menjadi :

dW/dt=∫E∙(∇×H) dτ – ∫E∙∂D/∂t…………………………………(8)

menggunakan triple product rule, E∙(∇×H) menjadi :

∇∙(E×H)=H∙(∇×E)-E∙(∇×H)

E∙(∇×H)=H∙(∇×E)-∇∙(E×H)…………………………….(9)

dengan menggunakan persamaan ketiga Maxwell, maka persamaan (9) menjadi :

E∙(∇×H)=-H∙dB/dt-∇∙(E×H)……………………………….(10)

sehingga :

dW/dt=-∫(H∙∂B/∂t+E∙∂D/∂t) dτ -∫∇∙(E×H) dτ………………………………(11)

atau :

dW/dt=-(d/dt)∫u_em dτ – ∫(E×H)·da………………………………………(12)

Ruas kanan suku pertama menunjukkan perubahan energi elektromagnetik, sedangkan suku ketiga menunjukkan divergensi dari suatu vektor yang tegak lurus terhadap medan listrik E dan induksi medan magnet H, yang dinamakan sebagai vektor Poynting, yang dilambangkan dengan S.

S=E×H………………………………………………..(13)

satuan dari vektor Poynting adalah usaha per satuan luas per satuan waktu. Adapun arah dari vektor Poynting merupakan arah pancaran energi mekanik dan energi elektromagnetik. Vektor Poynting juga merupakan arah rambat dari gelombang elektromagnetik.

Apabila ditinjau pada rangkaian sederhana yang berupa resistor dan baterai, maka akan terlihat bahwa arah dari vektor Poynting menuju kepada resistor. Hal ini dapat dilakukan dengan meninjau arah medan magnet di setiap titik pada rangkaian, beserta arah medan listrik. Arah dari vektor Poynting ini menandakan bahwa energi dari baterai dipancarkan menuju resistor, atau energi pada baterai akan berkurang karena ditransmisikan kepada resistor (pada gambar, tertulis bahwa S=(E×B)/μ₀. Ini identik dengan persamaan (13) karena B=μ₀H. Begitu juga dengan D=ε₀E).